كتاب مدخل الى علم العدد اللذي وضعه¶ نيقوماخس الجاراسيني من شيعة فيثاغورس

وكما ان 〈فى〉 قسمة القانون من صناعة الموسيقى ايضا تمد وترا واحدا ويوضع انبوب له طول ما ويبقى الطرفان من كل واحد منهما ثابتين لا يتحركان ويتعين فيتنقل وسط ما بين الطرفين اما فى الانابيب فبالثقب التى فيها واما فى الاوتار فبالحاملة التى تكون تحتها وتكون من ذلك الثلثة الاجناس التى ذكرنا انفا من اجناس التوسط وهو التوسط العددى والتوسط الهندسى والتوسط التاليفى فسمى كل واحد منهما توسطا من معنى مفهوم واجب اذ كانت تكون عن تغير موضع الحد الاوسط وانتقاله كذلك ايضا يكون الحال فى الاعداد متى وضع حدان من الاعداد اما فرادان جميعا واما زوجان فانه قد يمكننا ويجب علينا ان نعلم متى اردنا كيف نترك ذينك الحدين ثابتين على امرهما غير متغيرين ونضع بينهما حدا متوسطا لهما على كل واحد من اجناس التوسط الثلثة على حسب التوسط العددى فبان يكون الحد المتوسط الذى يزيد على احد الطرفين ويزيد هو على الطرف الاخر زيادة مساوية واما على حسب التوسط الهندسى فبان تكون نسبة ما بين الاوسط والطرفين متساوية واما على حسب التوسط التاليفى فبان تكون زيادة الاوسط على احد الطرفين وزيادة الاخر عليه مقادير تكون نسبته الى تلك الاطراف مساوية كل واحدة الى نظيرها فليكن اولا الحدان الموضوعان اللذان نريد ان نبين كيف يحد بينهما كل واحد من الحدود المتوسط على الثلثة الاجناس التى ذكرنا من التوسط زوجين وهما العشرة والاربعون ونطلب اولا معرفة التوسط العددى فنجعله خمسة وعشرين ويكون خواص هذا التوسط كلها لازمة له هاهنا ايضا وذلك ان نسبة كل واحد من هذه الحدود الى نفسه كنسبة الاختلاف الى الاختلاف وذلك ان كل واحد منهما مساو لصاحبه وزيادة الحد الاعظم على الاوسط مثل زيادة الحد الاوسط على الاصغر والطرفان اذا جمعا يكونان على ضعف الاوسط والنسبة التى بين الحدود الصغار اعظم نمن النسبة التى بين الحدود العظام والذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر اقل من الذى يكون من ضرب الاوسط فى نفسه بمثل المربع الكاين من اختلافى الحدود والحد الاوسط تكون زيادته على احد الطرفين وزيادة الطرف الاخر عليه جزا واحدا بعينه من الاوسط واما اذا قيس ذلك الاختلاف الى الطرفين ونسب اليهما فان نسبته اليهما تكون مختلفة فاما ان نحن جعلنا الحد الاوسط الداخل فيما بين الحدين الاخرين اللذين ذكرناهما اللذان هما عددان زوجان عدد العشرين فان خواص التوسط الهندسى تظهر وتبين وتبطل خواص التوسط العددى وذلك ان نسبة الحد الاعظم الى الاوسط كنسبة الاوسط الى الاصغر والذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر الذى يكون من ضرب الاوسط فى نفسه ونسب اختلافات حدود هذا التوسط بعضها الى بعض كنسب الحدود انفسها بعضها الى بعض ولا يكون التفاضل بين الحدود الى الزيادة والنقصان جزا واحدا بعينه من الطرفين لكن من الحد الاوسط ومن احد الحدين اللذين عن جنبتيه ويكون النسب التى فيما بين الحدود العظام مساوية للتى فيما بين الحدود الصغار واما ان نحن جعلنا الحد الاوسط عدد الستة عشر بدل الحدين الاوسطين اللذين قدمنا ذكرهما فان خواص التوسطين الاخرين تبطل ويظهر خواص التوسط التاليفى والحدود اعداد ازواج وذلك ان نسبة الحد الاعظم الى الحد الاصغر تكون كنسبة اختلاف ما بين الحدين الاعظمين الى اختلاف ما بين الحدين الاصغرين واجزا ما ينقص الحد الاوسط عن الحد الاعظم من الحد الاعظم نفسه مثل اجزا ما يزيد هذا الحد الاوسط على الاصغر من الاصغر والنسبة التى فيما بين الحدود العظام اعظم من غير هذا واذا جمع الحدان اللذان فى الطرفين وضربا فى الحد الاوسط كان المجتمع من ذلك مثلى ما يجتمع من ضرب الحدين اللذين فى الطرفين احدهما فى الاخر فاما ان لم نجعل حدى الطرفين عددين زوجين لكن فردين مثل الخمسة والخمسة واربعين فانا ان جعلنا الحد الاوسط خمسة وعشرين كان التوسط عدديا وسبب ذلك ان عددى الحدين اللذين عن جنبتيه يزيد على احدهما ويزيد الاخر عليه زيادتين متساويتين فيكون اختلاف ما بينهما وبينه اختلافا واحدا واما ان جعلنا الحد الاوسط عدد الخمسة عشر فانه يكون من ذلك التوسط الهندسى فتكون نسبته اليهما نسبة الثلثة الامثال والنسبة المقابلة للثلثة الامثال واما ان جعلنا الحد الاوسط عدد التسعة فانه يكون من ذلك التوسط التاليفى وذلك ان الاجزا التى بمقدار تزيد على الحد الاصغر وهى اربعة اخماس الاصغر بمثلها من الاجزآ تنقص عن الاعظم من اجزا الاعظم وذلك انها اربعة اخماس واذا انت تاملت فى هذه الاعداد ساير خواص هذا التوسط التة قدمنا ذكرها وجدتها لازمة لها واما الطريق الصناعى الذى به توجد الحدود التى قدمنا ذكرها حتى تكون الحدود جارية على الثلثة الاصناف التى ذكرنا من تساوى القياس فهو على ما اصف اما التوسط العددى فانك تجده فيما بين الحدين الفردين وفيما بين الحدين الزوجين اللذين قدمنا ذكرهما بان نجمع ذينك الحدين اللذين هما الطرفان وناخذ نصفهما فنجعله حدا متوسطا بينهما او ناخذ نصف فضل ما بين الحد الاعظم والحد الاصغر فنزيد〈ه〉 على الاصغر فيكون من ذلك الحد الاوسط واما التوسط الهندسى فانك تجده بان تضرب حدى الطرفين احدهما فى الاخر وتاخذ جذر ما اجتمع فتجعله حدا متوسطا او اطلب الحد الذى يقسم نسبة احد الطرفين الى الاخر نسبتين متساويتين فاجعله حدا متوسطا [او اطلب الحد الذى يقسم نسبة احد الطرفين ] مثل نسبة الاربعة الامثال التى تنقسم الى الضعف واما التوسط التاليفى فانك تجده بان تاخذ فضل ما بين الطرفين فتضربه فى الحد الاصغر فما اجتمع قسمته على الحد الاعظم والاصغر مجموعين فما خرج من القسمة زدته على الاصغر فما اجتمع فهو متوسط ما بين ذينك الحدين على السبيل التاليفية

[chapter 51: II 28]

صفحة ١٠٨