فهذا ما قدرنا ان نقول فى الثلثة الاصناف من تساوى القياس التى ذكرها القدمآ وانما اطلنا القول فى عملها وشرحناه لانا نجد ذكرها فى كتب القدما ذكرا كثيرا مفصلا واما اصناف التوسط التى تتلو هذه فان القدمآ انما ذكروها ذكرا ناقصا ليس الكثير وانما وجدناها نحن باعتبارنا وعلمنا الوجه فى حسابها واذا نحن رتبناها وجدناها مقابلة للثلث التوسطات التى بينا ذكرها وانها كالاساس لها وعنها اخذت ومراتبها كمراتبها اما التوسط الرابع وهو الذى يسمى المقابل وذلك انه مقابل للتوسط التاليفى ومكاف له فانه يكون متى كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الاعظم منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين 〈الى〉 فضل ما بين الحدين الاعظمين مثل الثلثة والخمسة والستة وذلك ان النسب التى ذكرنا فى هذه الاعداد هى نسبة الضعف ومن البين ان هذا التوسط يخالف التوسط التاليفى ويضاده على التمام وذلك انه اذا كان الطرفان فى هذين التوسطين جميعا مشتركين وكانت نسبة احدهما الى الاخر نسبة الضعف فان التوسط الذى قبل هذا كانت توجد فيه هذه النسبة بعينها كنسبة فضل ما بين الحدين الاعظمين من حدوده الى فضل ما بين الحدين الاضغرين منها واما فى هذا التوسط فان هذه النسبة توجد على عكس ذلك اعنى ان النسبة التى ذكرنا تكون كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين الى فضل ما بين الحدين الاعظمين ومما يخص ذلك ايضا ان يكون المجتمع من ضرب الحد الاعظم فى الحد الاوسط مثلى المجتمع من ضرب الحد الاوسط فى الحد الاصغر وذلك ان الثلثة خمس مرات ضعفه الخمسة ست مرات واما التوسطان الاخران وهما الخامس والسادس فانما اخذا جميعا من التوسط الهندسى والفرق بينهما ان التوسط الخامس يكون اذا كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الاوسط منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين الاعظم والاوسط مثل اعداد الاثنين والاربعة والخمسة وذلك ان الاربعة ضعف الاثنين وهذه هى نسبة الحد الاوسط الى الحد الاصغر والاثنان ايضا ضعف الواحد والاثنان هما فضل ما بين الحدين الاصغرين والواحد فضل ما بين الحدين الاعظمين والشى به صار هذا التوسط مضادا للتوسط الهندسى هو ان التوسط الهندسى كانت تكون فيه نسبة الحد الاوسط الى الحد الاصغر كنسبة فضل ما بين الحدين الاعظمين الى فضل ما بين الحدين الاصغرين واما فى هذا التوسط فان النسبة التى ذكرنا تكون كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين الى فضل ما بين الحدين الاعظمين وقد يخص ذلك ايضا هاهنا ان يكون المجتمع من ضرب الاعظم فى الاوسط ضعف المجتمع من ضرب الاعظم فى الاصغر وذلك ان الاربعة خمس مرات ضعف الاثنين خمس مرات واما التوسط السادس فانه يكون اذا كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاعظم منها الى الحد الاوسط كنسبة فضل ما بين الاوسط والاصغر الى فضل ما بين الاعظم والاوسط مثل الواحد والاربعة والستة وذلك ان كل واحد من النسبتين اللتين ذكرنا هى نسبة المثل والنصف وهاهنا ايضا سبب به وجب ان يكون هذا التوسط مضادا للتوسط الهندسى وهو ان شابه النسب ينعكس هاهنا ايضا كما انعكس فى التوسط الخامس فهذه هى الستة التوسطات التى ذكرنا انفا اما الثلثة منها فهى التى بمنزلة الاساس وهى التى تادت منذ زمان فيثاغورس الى زمان ارسطوطاليس وافلاطون واما الثلثة الاخر المضادة لهذه فان المستعملين لها كانوا من وضع الكتب من بعدها ولا من العلمآ واصحاب الكلام وهاهنا اربع توسطات اخر وجدها قوم وهى مخالفة فى حدودها وفى اختلاف ما بين حدودها لتلك المتقدمة ولا يكاد ان توجد كثيرا فى كتب القدمآ لكن هاولاى اللذين ذكرنا غاصوا فى طلبها وليلا تكون لنا غير معلومة فانا نذكرها بهذا الذكر فنقول ان اولها وهو التوسط السابع من التوسطات كلها يكون متى كانت نسبة الحد الاعظم الى الاصغر كنسبة فضل ما بين هذين الحدين الى فضل ما بين الحدين الاصغرين مثل التسعة والثمانية والستة وذلك ان كل واحدة من النسبتين اللتين ذكرنا تكون هاهنا نسبة المثل والنصف واما التوسط الثامن الذى هو الثانى من هذه الاربعة الاواخر فانه يكون متى كانت نسبة الحد الاعظم الى الحد الاصغر كنسبة اختلاف ما بين الطرفين الى اختلاف ما بين الحدين الاعظمين مثل الستة... والتسعة وهذا التوسط الذى ذكرناه توجد فيه النسبتان اللتان وصفنا تسمى المثل والنصف ايضا واما التوسط التاسع من الجميع وهو الثالث من التى وجدت اخيرا فانه يكون متة كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاوسط منها الى الحد الاصغر كنسبة فضل ما بين حدى الطرفين الى فضل ما بين الحدين الاصغرين مثل الاربعة والستة والسبعة [واما التوسط العاشر من الجميع وهو الرابع من التوسطات التى وضعها من كان من بعد القدمآ فانه يكون متى كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاوسط منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين مثل الاربعة والستة والسبعة] واما التوسط العاشر من الجميع وهو الرابع من التوسطات التى وضعها من كان بعد القدمآ فانه يكون متى كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاوسط منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين حدى الطرفين الى فضل ما بين الحدين الاعظمين مثل الثلثة والخمسة والثمانية وذلك ان كل واحدة من النسبتين اللتين وصفنا تكون هاهنا مثلا وثلثين وينبغى ان نضع هاهنا حدودا تكون مثالات للتوسطات العشرة مجموعة فى مكان واحد وهى هذه

[chapter 52: II 29]

صفحة ١١١