كتاب مدخل الى علم العدد اللذي وضعه¶ نيقوماخس الجاراسيني من شيعة فيثاغورس

ان التوسط العددى يكون اذا وضعنا وتوهمنا ثلثة حدود متوالية او اكثر من ثلثة حدود وكان التفاضل فيما بين الحدود التى تلى بعضها بعضا مقدارا واحدا الا ان نسبة التى فيما بين تلك الحدود ليست نسبة واحدة مثل الواحد والاثنين والثلثة والاربعة والخمسة والستة والسبعة والثمانية والتسعة والعشرة والاحدى عشرة والاثنا عشرة والثلثة عشرة وذلك انا اذا وضعنا الاعداد هذا الوضع الطبيعى لها وجدنا كل حد من هذه الحدود اذا قيس بالحدين اللذين عن جنبتيه كان منه منهما التوسط العددى وذلك ان فضل ما بينه وبين كل واحد من العددين اللذين عن جنبتيه فضل مساو الا ان النسبة بينه وبينهما ليست واحدة ونحن نعلم ان الاعداد التى وضعها هذا الوضع قد يكون فيها على سبيل الانفصال وذلك انه ان كان الحد الواحد بعينه متقدما فى احدى النسبتين تاليا فى النسبة الاخرى اذا قيس الى الحدين اللذين عن جنبتيه المفرق بينهما كان تساوى هذا القياس يكون على سبيل الانفصال وان اقتطعت من الاعداد التى وضعها الوضع الذى ذكرنا ثلثة حدود متوالية اى حدود كانت على سبيل التوسط المتصل او اربعة حدود او اكثر من ذلك على سبيل التوسط المنفصل فان التفاضل بينهما يكون واحدا ابدا واما النسب فانها مختلفة فى جميع ذلك فان لم تكن الحدود التى لم توجد متوالية لكن فيما بينهما حدود اخر الا ان ما يترك من الحدود وفيما بينها مساوى العدد ان كان واحدا فواحد وان كان اثنين فاثنين وان كان اكثر من ذلك فاكثر فان فضل ما بينها ان كان ما يترك من الحدود واحدا واحدا فهو اثنان اثنان من العدد فى جميع ذلك والتوسط الذى ذكرنا ان كان فى ثلثة اعداد فهو على سبيل الاتصال وان كان اكثر من ذلك فعلى سبيل الانفصال فاما ان كان ما يترك من الاعداد فيما بين الحدود عددين عددين فان الاختلاف فيما بين تلك الحدود ثلثة ثلثة فى المتصل منها وفى المنفصل واما ان كان ما يترك من الاعداد ثلثة اعداد ثلثة اعداد فان التفاضل اربعة اربعة وان كان ما يترك اربعة اربعة فان التفاضل خمسة خمسة وما فوق ذلك على هذا المثال بمقدار تفاضل الحدود هاهنا وكمية مقدار مساو واما فى كيفية الحدود بعضها عند بعض فلا ولذلك صار هذا التوسط عدديا فاما ان كانت الكيفية متساوية فان هذا التوسط يكون هندسيا بدل العددى ولهذا التوسط العددى خاصة لم تعرض لغيره وهى الطرفان من حدوده اذا جمعا كان مثلى وسط ما بينهما من الاعداد ان كان هذا التوسط على سبيل الاتصال وان كان على سبيل الانفصال فضل واحد ذلك على طريق الابدال وذلك انه اما ان يكون الاوسط مع نفسه مرة اخرى مساويا للطرفين مجموعين واما ان يكون الاوسطان اذا جمعا مرة اخرى مساويا للطرفين مجموعين وايضا فان لهذا التوسط خاصة اخرى وهو ان نسبة كل واحد من حدوده الى نفسه كنسبة اختلاف ما بين الحدود بعضها الى بعض وذلك انها متساوية وايضا فان له خاصة اخرى هى اغمض مما ذكرنا وقد ذهبت على كثير من الناس وهى ان المجتمع من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر اقل ابدا من المربع الكاين من الحد الاوسط بمثل المجتمع من ضرب واحد الاختلافين اللذين بين حدين من تلك الحدود فى الاختلاف الاخر منهما ان كان هذان الاختلافان واحدا واحدا وان كانا اثنين اثنين وان كانا ثلثة ثلثة او اربعة اربعة او غير ذلك من الاعداد اى عدد كان والخاصة الرابعة من خواص هذا التوسط التى هى خاصة قد ذكرها جميع القدمآ هى ان النسبة التى بين الحدين الاصغرين اعظم من النسبة التى بين الحدين الاعظمين واما التوسط التاليفى فان امرها بين النسبتين فيه على ضد ما هما عليه هاهنا |

التوسط التاليفى ما كان منها التوسط العددى وفيما بين هاذين التوسطين اللذين هما كالطرفين التوسط الهندسى لان النسب التى بين حدوده الصغار ونحن نرى المساوى متوسطا فيما بين الاعظم والاصغر فهذا ما نقوله فى التوسط العددى PageV01P09 7

[chapter 47: II 24]

صفحة ٩٨