1 + ن أ

حيث أ عدد حقيقي أكبر من −1 ومختلف عن الصفر، وحيث إن أي عدد صحيح أكبر من 1.

وللبرهان على هذه المسألة مرحلتان، حسب الترتيب التالي:

10 (أ)

نبرهن على أنه إذا كان عدم التساوي الذي تعبر عنه هذه المسألة صحيحا بالنسبة إلى قيمة معينة (ن)، ولتكن ك، كان أيضا صحيحا بالنسبة إلى القيمة ك + 1 (ولنقل على وجه الدقة إننا لا نعلم إذا كان يصح بالنسبة إلى قيمة ك هذه). (ب)

نبرهن على أن عدم التساوي يصح بالنسبة إلى ن = 2.

ومن هذين البرهانين يمكننا أن نستدل على أن عدم التساوي صحيح لكل قيم ن ابتداء من 2. والواقع أننا قد أثبتنا في البرهان (ب) أن الصيغة تصح إذا كانت ن =2. على أننا أثبتنا في (أ)، بصفة عامة، أنه إذا كان عدم التساوي صحيحا بالنسبة إلى قيمة معينة ل ن هي ك، فإنه يصح أيضا بالنسبة إلى ك + 1.

ولما كانت الصيغة (1) صحيحة عندما تكون ن = م، فإنها تكون أيضا صحيحة عندما تكون ن = 3. ولما كانت صحيحة عندما تكون ن = 3 فإنها تكون صحيحة عندما تكون ن = 4. وفي وسعنا أن نكرر هذا الاستدلال ذاته إلى ما لا نهاية، ما دام البرهان (أ) قد أثبت أن الصيغة إذا صحت بالنسبة إلى أية قيمة ل ن، فإنها تصح بالنسبة إلى القيمة التالية. وبدون البرهان (أ ) كان يمكننا أن نحقق الصيغة (1) عندما تكون ن = 2، ن = 3، ن = 4، على التوالي ... ولكننا لا نستطيع عندئذ أن نؤكد أنها تصح على ذلك العدد اللامتناهي من قيم ن، ابتداء من 2، فعن طريق البرهانين أ، ب معا، يمكننا أن نؤكد صحة عدد لا نهاية له من الصيغ.

وهكذا يمكننا أن نفهم السبب الذي قال من أجله بوانكاريه: إن «الاستدلال الرياضي يشارك بقدر معين في طبيعة الاستدلال الاستقرائي.» فالاستقراء الترديدي يسمح لنا أن نؤكد صحة صيغة في عدد لا نهاية له من الحالات، بينما كان يمكننا عن طريق براهين مماثلة للبرهان (ب) أن نؤكد الصيغة (أ) في عدد «متناه» من الحالات فحسب، ولكن علينا أن نفهم كل فكرة في تفاصيلها الدقيقة، لهذا أشرنا بوجه خاص إلى كلمة «بقدر معين». فبعد عدة صفحات، يعبر بوانكاريه عن رأيه بوضوح تام يمكن من توقي كل خلط، فيقول: «لا يستطيع المرء أن يتجاهل أن في الاستدلال الترديدي تشابها ملحوظا مع عمليات الاستقراء المعتادة، ومع ذلك، فلا زال بينهما اختلاف جوهري. فالاستقراء حين يطبق على العلوم الطبيعية يكون على الدوام غير مؤكد، لأنه يرتكز على الإيمان بنظام عام للكون ... أما الاستقراء الرياضي، أعني البرهان «الترديدي» فإنه يفرض ذاته بضرورة محتومة ...» وإذن فقد أراد بوانكاريه أن يقرب الاستدلال الترديدي من الاستدلال الاستقرائي كما يتمثل في العلوم الطبيعية لأنهما «يسيران في نفس الاتجاه، أعني ينتقلان من الخاص إلى العام.» ولكنه إذ يقربهما على هذا النحو يؤكد أيضا بوضوح أنهما «يرتكزان على أسس مختلفة.»

فما الاعتراضات التي وجهها عالم المنطق «جوبلو» إلى بوانكاريه؟ إنه يقول له: لقد وصفت «الاستدلال الترديدي» بأنه الاستدلال الرياضي على الحقيقة. غير أنه استدلال خاص إلى أبعد حد، ولا يمكن أن ينطبق إلا على مجالات معينة في الرياضة، وهي المجالات التي يتبدى فيها تعاقب الأعداد الصحيحة.

Unknown page