المجموعة هي طائفة من العناصر يمكن أن «تؤلف» مثنى مثنى، على نحو يعيد تكوين أحد عناصر المجموعة، ولهذا التأليف ثلاث خصائص: (1)

أولاها أنه ترابطي

associative : فإذا تأملت ثلاث عناصر أ، ب، ج، ففي وسعي أولا أن أؤلف بين أ، ب، ثم أؤلف بين نتيجة هذا التأليف الأول وبين ج، ولكنني أستطيع أيضا التأليف بين أ وبين نتيجة تأليف ب، ج؛ وفي الحالتين أحصل على نتيجة نهائية واحدة. (2)

يوجد في المجموعة عنصر محايد (ويسمى أيضا عنصر وحدة)، وتأليف عنصر محايد مع أي عنصر في المجموعة يؤدي إلى تكوين هذا العنصر. (3)

لكل عنصر في المجموعة عنصر مناظر له (ويسمى أيضا مقابلا له)؛ والتأليف بين العنصر ونظيره يؤدي إلى العنصر المحايد. فلنضرب لذلك مثلا: هو نقلات أحد المسطحات، فإذا ألفنا بين نقلتين أ ب، ب ج (أعني إذا أجرينا النقلتين بالتعاقب) أصبحت لدينا نقلة هي أ ج (التي تؤدي بالنقطة أ إلى النقطة ج). (1)

فإذا أجرينا ثلاث نقلات أ، ب، ج بحيث تصل أ إلى د فإنه يستوي عندنا أن نبدأ من أ إلى ج ثم إلى د، أو من أ إلى ب ثم إلى د. (2)

النقلة المحايدة هي التي يمكن تسميتها بالنقلة المنعدمة، التي تترك كل الأشكال ساكنة على ما هي عليه. (3)

كل نقلة تناظرها نقلة متماثلة معها: فلو تأملنا أ ب، لوجدنا النقلة المناظرة هي ب أ، والتأليف بين هاتين النقلتين المتناظرتين يؤدي بنا إلى النقطة أ، التي كنا قد بدأنا منها، فنتيجة هذا التأليف هي النقلة المحايدة كما عرفناها من قبل.

وإذن فتنقلات المسطح تكون مجموعة.

ولتلاحظ - على هامش هذا الموضوع - أننا قد عرفنا خلال العرض نظاما للبديهيات بطريقة مجردة تماما؛ وهو نظام البديهيات الخاص بالمجموعات، والذي ضربنا له مثلا ملموسا، هو مجموعة نقلات المسطح.

Unknown page