فكرة قيم الحقيقة في المنطق الرياضي

عندما يعرض المنطق التقليدي في صورة استنباطية (أعني باستنباط النظريات المنطقية من البديهيات) فإننا لا نرجع إلى قيم الحقيقة التي يمكن أن تتصف بها قضية ما. غير أنه من الممكن دراسة المنطق الرياضي التقليدي من وجهة النظر الجديدة هذه؛ فمن الممكن أن يكون للقضية قيمتان فتكون صادقة أو كاذبة، ولما كان المنطق الرياضي التقليدي لا يعترف إلا بهاتين القيمتين، فقد سمي منطقا (ثنائي القيمة

bivalente ). على أن في وسعنا القول بأن معنى الصدق والكذب يقحمنا في مجال عيني، وعندئذ يكون علينا أن نكتفي بالقول إننا سنعزو إلى كل قضية قيمتين: القيمة 1 والقيمة 2 مثلا. ولكننا سوف نستبقي التعبيرين: صادق وكاذب، من أجل تيسير الفهم، فكيف ندرس المنطق الرياضي من وجهة النظر هذه؟ لنضرب بضعة أمثلة. فها هي ذي الطريقة التي نعبر بها عن الجمع بين قضيتين (أو ب) وتكون

صادقة إذا كانت أ صادقة وب صادقة (فنحن لا نستطيع أن نؤكد صدق مجموع القضيتين إلا إذا كانت كل من هاتين القضيتين صادقة). أما الانفصال غير الاستبعادي بين قضيتين: (1 أو ب) فيعرف بأنه يصدق إذا كانت «واحدة على الأقل» ومن القضيتين أ، ب صادقة، فإذا كانت أ كاذبة وب كاذبة، فعندئذ لا نستطيع تأكيد . وهكذا نرى أن قيمة مركبة مثل

لا تتوقف إلا على القيمة التي تعزى إلى القضايا التي تكون عناصرها، وهي أ، ب. وهذه ليست سوى أمثلة بسيطة للغاية، غير أن كل التعبيرات المنطقية، مهما كان تعقيدها يمكن دراستها من وجهة النظر هذه ... والنظرية أو المبرهنة

theorém

المنطقية بوجه خاص، هي تعبير صادق دائما أيا كانت القيمة التي تنسب إلى القضايا أ، ب، ج ... المكونة لها، وهذا ما يطلق عليه اسم «تحصيل الحاصل

Tautologie » بمعنى جديد كل الجدة لهذه الكلمة.

ويمكننا أن نصل إلى أنواع أخرى من المنطق إذا ما أدخلنا قيما جديدة غير الصدق والكذب، كالقيم التي تحدد «درجات للصدق» مثلا. وهذه الأنواع من المنطق تسمى «بعديدة القيم

».

Unknown page