n = ما لا نهاية، كان عليه أن يتناقص تدريجيا بقيمة
n ، حتى يصل بها إلى ، وقد كانت تلك الخطوة التناقصية الواحدة هي التي حاول القيام بها أولا. في الرابع من أغسطس عام 1753، أعلن أويلر في خطاب إلى عالم الرياضيات البروسي كريستيان جولدباخ أنه قد عدل طريقة فيرما في تطبيق التناقص اللانهائي، ونجح في إثبات الحالة . بعد مائة عام، كانت تلك هي المرة الأولى التي ينجح فيها أحدهم في إحراز أي تقدم بشأن التصدي لتحدي فيرما.
ومن أجل الانتقال ببرهان فيرما من ، ليتناول الحالة ، كان على أويلر أن يدمج المفهوم الغريب المتمثل فيما يعرف باسم «العدد التخيلي»، وهو كيان قد اكتشفه علماء الرياضيات في أوروبا في القرن السادس عشر. من الغريب أن نفكر في أعداد جديدة «تكتشف»، غير أن ذلك يعود بصفة أساسية إلى ألفتنا الشديدة مع الأعداد التي نستخدمها عادة حتى إننا ننسى أن بعض هذه الأعداد لم تكن معروفة من قبل. فقد كان السبيل الوحيد لمعرفة الأعداد السالبة والأعداد الكسرية والأعداد غير النسبية، أن تكتشف، وقد كان الدافع في كل حالة من هذه الحالات هو الإجابة عن أسئلة لا يمكن الإجابة عنها بأي طريقة أخرى.
إن تاريخ الأعداد يبدأ بأعداد العد البسيطة (1، 2، 3، ...) التي تعرف أيضا بالأعداد الطبيعية. وهذه الأعداد ملائمة تماما لجمع الكميات الصحيحة البسيطة معا، مثل الأغنام أو العملات الذهبية، من أجل الوصول إلى عدد إجمالي يمثل هو أيضا كمية صحيحة. وإضافة إلى الجمع، يمكن إجراء العملية البسيطة الأخرى المتمثلة في الضرب على الأعداد الصحيحة، للتوصل إلى أعداد صحيحة أخرى. أما عملية القسمة، فهي تطرح مشكلة غريبة. فبالرغم من أن 8 مقسوما على 2 يساوي 4، نجد أن 2 مقسوما على 8 يساوي 1 / 4. وناتج عملية القسمة الأخيرة ليس عددا صحيحا، بل كسرا.
إن القسمة عملية بسيطة تجرى على الأعداد الطبيعية، وتستلزم البحث فيما ما وراء الأعداد الطبيعية من أجل التوصل إلى الإجابة. فمن غير الوارد لعلماء الرياضيات ألا يكونوا قادرين، ولو نظريا على الأقل، على الإجابة عن أي سؤال، وتعرف هذه الضرورة التي تقتضي البحث باسم «الاكتمال». فثمة أسئلة تتعلق بالأعداد الطبيعية لا يمكن الإجابة عنها دون اللجوء إلى الكسور. ويعبر علماء الرياضيات عن ذلك بقولهم إن الكسور ضرورية للاكتمال.
إن هذه الحاجة إلى الاكتمال هي التي دفعت الهندوس إلى اكتشاف الأعداد السالبة. ذلك أنهم قد لاحظوا أن طرح 3 من 5 يساوي 2، أما طرح 5 من 3، فهو ليس بهذه السهولة. لقد كانت الإجابة تتجاوز أعداد العد الطبيعية، ولا يمكن التوصل إليها إلا بتقديم مفهوم الأعداد السالبة. لم يقبل بعض علماء الرياضيات هذا التوسع في التجريد، وكانوا يسمون الأعداد السالبة بالأعداد «غير المنطقية» أو «الزائفة». فالمحاسب يستطيع الإمساك بعملة ذهبية واحدة، أو حتى نصف عملة ذهبية، لكنه من المحال أن يمسك بعملة سالبة.
شكل 3-5: يمكن وضع جميع الأعداد على خط الأعداد الذي يمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاهين.
كان اليونانيون أيضا يتطلعون إلى الاكتمال، وقد قادهم هذا إلى اكتشاف الأعداد غير النسبية. في الفصل الثاني تعرضنا للسؤال التالي: ما العدد الذي يمثل الجذر التربيعي للعدد 2، ؟ لقد كان اليونانيون يعرفون أن هذا العدد يساوي 7 / 5 تقريبا، لكنهم حين حاولوا معرفة العدد الكسري الدقيق، لم يجدوا له وجودا. لقد وجدوا عددا لا يمكن التعبير عنه أبدا في صورة كسر، لكن وجود هذا النوع من الأعداد كان ضروريا للإجابة عن سؤال بسيط: ما الجذر التربيعي للعدد اثنين؟ إن الحاجة إلى الاكتمال كانت تعني إضافة مستعمرة أخرى إلى إمبراطورية الأعداد.
بحلول عصر النهضة، افترض علماء الرياضيات أنهم قد اكتشفوا جميع الأعداد الموجودة في الكون. فقد كانوا يعتقدون أن الأعداد كلها تقع على «خط الأعداد»، وهو خط يمتد طوله إلى ما لا نهاية، ويقع الصفر في منتصفه مثلما يتضح في الشكل
3-5 . كانت الأعداد الصحيحة توضع على مسافات متساوية على خط الأعداد، مع كتابة الأعداد الموجبة على يمين الصفر وامتدادها إلى اللانهائية الموجبة، وكتابة الأعداد السالبة على يسار الصفر وامتدادها إلى اللانهائية السالبة. وكانت الكسور تشغل المسافات بين الأعداد الصحيحة، وتوضع الأعداد غير النسبية في المسافات التي تقع بين الكسور.
صفحة غير معروفة