على هيئة كسر وهو عدد غير نسبي. يرد توضيح لبرهان إقليدس في الملحق 2.
من خلال استخدام البرهان بالتناقض، تمكن إقليدس من إثبات وجود الأعداد غير النسبية. وللمرة الأولى، اتخذت الأعداد سمة جديدة أكثر تجريدا . فحتى تلك المرحلة التاريخية، كانت الأعداد جميعها تمثل في صورة أعداد صحيحة أو كسور، لكن الأعداد غير النسبية التي أثبت إقليدس وجودها قد استعصت على التمثيل بالطريقة التقليدية. ما من طريقة أخرى يمكن استخدامها لوصف العدد المساوي للجذر التربيعي للعدد اثنين إلا بالتعبير عنه بالصورة: . ذلك أن أي محاولة لكتابته على هيئة عدد عشري لن تكون إلا قيمة تقريبية، مثل 1,414213562373 ...
لقد كان فيثاغورس يرى أن جمال الرياضيات هو أن الأعداد النسبية (الأعداد الصحيحة والكسور) يمكن أن تصف جميع الظواهر الطبيعية. وهذه الفلسفة التي كان يهتدي بها قد أعمته عن وجود الأعداد غير النسبية، وربما تكون قد أدت أيضا إلى إعدام أحد تلاميذه. تروي إحدى القصص أن طالبا شابا يدعى هيباسوس كان يلهو بلا هدف بالعدد ، في محاولة منه لإيجاد الكسر المعادل له. وفي نهاية المطاف، أدرك أن مثل ذلك الكسر ليس له أي وجود، أي إن
عدد غير نسبي. لا بد أن هيباسوس كان منتشيا باكتشافه، لكن معلمه لم يكن كذلك. لقد كان فيثاغورس يعرف الكون وفقا للأعداد النسبية، ووجود الأعداد غير النسبية وضع تصوره الذهني في موضع الشك. كان ينبغي أن يترتب على اكتشاف هيباسوس وقت من المناقشة والتأمل، كان يجدر بفيثاغورس أن يتقبل خلاله ذلك المصدر الجديد للأعداد. غير أن فيثاغورس لم يكن مستعدا لأن يقبل أنه كان على خطأ، وفي الوقت نفسه، لم يستطع إبطال حجة هيباسوس بقوة المنطق؛ فحكم عليه بالإعدام غرقا، وسيظل هذا العار ملتصقا به إلى الأبد.
لقد لجأ مؤسس المنطق والمنهجية الرياضية إلى القوة بدلا من أن يعترف بخطئه. إن إنكار فيثاغورس للأعداد غير النسبية هو أشنع أفعاله، وقد يكون أعظم مآسي الرياضيات اليونانية؛ إذ لم يمكن بعث الأعداد غير النسبية بأمان إلا بعد وفاته.
وبالرغم من أن اهتمام إقليدس بنظرية الأعداد كان واضحا؛ فلم تكن تلك أعظم إسهاماته في مجال الرياضيات. لقد كانت الهندسة هي شغف إقليدس الحقيقي، ومن بين الأجزاء الثلاثة عشر التي يتألف منها كتابه «العناصر»، تركز الأجزاء من الأول إلى الرابع على الهندسة المستوية (ثنائية الأبعاد)، بينما تناقش الأجزاء من الحادي عشر إلى الثالث عشر هندسة المجسمات (ثلاثية الأبعاد). إن هذا الكتاب يمثل مرجعا مكتملا للمعرفة حتى إن محتوياته قد شكلت منهج الهندسة في المدارس على مدى ألفي عام تاليين من الزمان.
أما عالم الرياضيات الذي جمع نصا مكافئا لنظرية الأعداد، فهو ديوفانتوس الإسكندري، آخر أبطال التقليد الرياضي اليوناني. وبالرغم من أن إنجازات ديوفانتوس في نظرية الأعداد قد وثقت جيدا في كتبه، فلسنا نعرف أي شيء آخر عن ذلك العالم العظيم. فمسقط رأسه مجهول، ووصوله إلى الإسكندرية قد يكون في أي وقت على مدى مدة زمنية تمتد إلى خمسة قرون. يقتبس ديوفانتوس في كتاباته من هيبسكلس؛ إذن فلا بد أنه قد عاش بعد العام 150 قبل الميلاد؛ ومن ناحية أخرى، نرى ثيون الإسكندري يقتبس من أعماله؛ إذن فلا بد أنه قد عاش قبل العام 364 بعد الميلاد. والتقدير المنطقي المقبول لتاريخ ميلاده هو حول العام 250 ميلاديا. ومثلما يليق بشخص من محترفي حل المعضلات، فإن المعلومة الوحيدة التي انتقلت إلينا عن حياة ديوفانتوس، قد بقيت في شكل أحجية يقال إنها قد نقشت على قبره:
منحه الرب صباه على مدى السدس من عمره، وبإضافة 1 / 12 لذلك، غطى خديه بالزغب؛ ومنحه نور الزواج بعد السبع، وبعد خمس سنوات من زواجه منحه ابنا. ويحي! طفل بائس قد ولد لعجوز؛ وبعد أن بلغ عمره نصف عمر أبيه كله، أخذه القدر القاسي. بعد أن واسى الرب حزنه بعلم الأعداد على مدى أربع سنوات، أنهى حياته.
واللغز هو حساب الفترة الزمنية التي عاشها ديوفانتوس. ترد الإجابة في الملحق 3.
إن هذه الأحجية مثال على نوع المسائل الذي كان ديوفانتوس يستمتع بحله. لقد تخصص في معالجة المسائل التي كانت تستلزم إجابات بأعداد صحيحة، وتعرف هذه المسائل اليوم باسم المسائل الديوفانتية. قضى ديوفانتوس حياته المهنية في الإسكندرية، وظل يجمع خلالها المسائل المفهومة جيدا، ويخترع مسائل جديدة، ثم جمعها كلها في مجلد واحد يعرف باسم «أريثميتيكا» (علم الحساب). ومن بين الأجزاء الثلاثة عشر التي تؤلف «أريثميتيكا»، لم ينج منها بعد أهوال العصور المظلمة سوى ستة فقط، وقد ألهمت علماء الرياضيات في عصر النهضة، ومنهم بيير دو فيرما. أما الأجزاء السبعة المتبقية، فقد فقدت خلال سلسلة من الأحزان المأساوية التي أعادت الرياضيات إلى عصر البابليين.
صفحة غير معروفة