[book 3]

[chapter 1: III Preface]

المقالة الثالثة من كتاب اوقليدس فى الاصول بسم الله الرحمن الرحيم

قال اوقليدس الدوائر المتساوية هى التى اقطارها متساوية والخطوط التى تخرج من مراكزها الى الخطوط المحيطة بها متساوية قال ايرن هذا القول مبين لانه اذا كانت الاقطار متساوية فان الخطوط الخارجة من المراكز الى المحيطات تكون متساوية لان كل واحد من تلك الخطوط نصف القطر وظاهر لنا انه اذا كانت الخطوط المستقيمة الخارجة من المراكز الى المحيطات متساوية فان الدوائر تكون متساوية لان رسوم الدوائر انما يكون بالبعد الذى بين المراكز والمحيطات الذى هو نصف الاقطار. قال اوقليدس الخط المستقيم المماس للدائرة هو الذى اذا لامس الدائرة واخرج فى الجهتين جميعا لم يقطع الدائرة والدوائر التى يماس بعضها بعضا هى التى اذا ماس بعضها بعضا لم تتقاطع. الخطوط المستقيمة المساوية البعد عن المركز هى التى الاعمدة الخارجة من المركز اليها متساوية واعظمها بعدا عن المركز هو الذى العمود الخارج اليه اعظم.

Page 2

قال ايرن ان الرياضى اراد ان يبين البعد الذى بين المراكز وبين الخطوط المستقيمة المساسة لذلك ذكر الاعمدة وذلك انه قد يمكن ان نخرج من كل نقطة الى كل خط خطوط كثيرة فاما البعد الذى بين النقطة وبين الخط فهو العمود الخارج من تلك النقطة الى ذلك الخط. قال اوقليدس وقطعة الدائرة هى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقطعة قوس من محيط الدائرة. وزاوية القطعة هى التى اذا علم على قوس القطعة نقطة ما واخرج منها الى نهايتى قاعدة القطعة خطان مستقيمان احاطا بها واذا كان الخطان المحيطان بالزاوية يحيطان بقوس فان تلك الدائرة [الزاوية .scr] تسمى المركبة على تلك القوس. قطاع الدائرة هو الشكل الذى يحيط به الخطان المستقيمان المحيطان بالزاوية والقوس التى الزاوية متركبة عليها قال ايرن يعنى بالقوس التى توتر الزاوية وانواع القطاع اثنان فمنها ما يكون رؤسها على المراكز ومنها ما يكون رؤسها على المحيطات فاما التى رؤسها [لا كان]ت على المراكز ولا على المحيطات فانها ليست بقطاع لكنها تشابه القطاع قال اوقليدس قطع [الدو]ائر المتشابهة هى التى زوايا[ها] متساوية او التى تكون الزوايا التى تقع فيها متساوية. قال [اي]رن قد ينبغى ان نعلم انه كانت قطع الدوائر متشابهة فان الزوايا المرسومة فيها متساوية وع[ند ?] ذلك اذا كانت الزوايا التى تقع فى قطع الدوائر متساوية فان تلك القطع متشابهة وانواع الاشكال هى هذه الدائرة وقطع الدائرة والمنحدبة والهلالية اما الدائرة فهى الشكل الذى قد خصناه فى الاشكال التى تحيط بها الخطوط المستقيمة واما قطعة الدائرة فهى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقوس من محيط الدائرة واذا تقاطعت دائرتان فان القطعة المشتركة لهما تسمى المنحدبة والقطعتان الباقيتان تسمى كل واحدة منهما هلالية. فتمت المصادرة

Page 6

اذا جاز خط مستقيم على دائرة يماسها من خارجها ولا يقطع منها شياء فانه يقال له المماس للدائرة. واذا كانت الدوائر تماس بعضها بعضا ولا تقطع واحدة منها الاخرى فانه يقال له المتماسة. واذا كانت فى الدوائر خطوط فكانت الاعمدة التى تخرج اليها من المركز متساو[ية فان ا]بعاد الخطوط من المركز سوآء وابعدها هو الذى عموده اطول. والقطعة من الدائرة يحيط بها خط مستقيم يقال له الوتر وطائفة من الخط المحيط يقال لها القوس وزاوية القطعة يحيط بها خط الوتر وخط القوس. واذا تعلمت نقطة على خط القوس واخرج منها خطان الى طرفى الوتر فصار الوتر قاعدة لهما فان الزاوية التى على النقطة والخطان يحيطان بها مركبة على القوس والشكل الذى يقال له القطاع هو الذى يحيط به خطان يخرجان من المركز الى الخط المحيط والقوس الذى بينهما والزاوية التى يحيط بها الخطان مركبة على مركز الدائرة وقطع الدوائر اذا كانت زاويتا كل قطعة مساويتين لزاويتى القطعة الاخرى فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فان زاويتى كل قطعة مساويتان لزاويتى القطعة الاخرى. واذا كانت زوايا القطع متساوية فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فالزاويا متساوية. ع

[chapter 2: III 1] الشكل الاول من المقالة الثالثة

Page 8

نريد ان نبين كيف نجد مركز دائرة مفروضة فننزل انها دائرة اب ونريد ان نبين كيف نجد مركزها فننحرج فيها وتر جد حيث شئنا من الدائرة ونقسمه بنصفين على نقطة ه كما بينا قسمة تلك ببرهان يب من ا ونقيم على نقطة ه عمودا ونخرجه فى كلتى الجهتين حتى ينتهى طرفاه الى محيط الدائرة كما بينا اخراجه ببرهان يا من ا وليكن خط اب ثم نقسم خط اب بنصفين على نقطة ح واقول ان نقطة ح مركز الدائرة وانه لا يمكن ان يكون غيرها مركزا فان امكن ان يكون غير نقطة ح هى المركز فليكن مركزها نقطة ط ونخرج خطوط طد طه طج فلان خط جه مثل خط هد فانا اذا اخذنا خط هط مشتركا يكون خطا جه هط مثل خطى ده هط ولان نقطة ط رسمت على انها مركز الدائرة يجب ان يكون خط طج مثل خط طد فببرهان ح من ا فان زاوية جهط مساوية لزاوية دهط واذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتيه متساويتين فان الخط القائم عمود عليه وكل واحدة من الزاويتين قائمة فزاوية جهط اذا قائمة لكن زاوية جهح قد تبين انها هى القائمة [فزا]وية جهط الصغرى مثل زاوية جهح العظمى هذا خلف لا يمكن فليست نقطة ط اذا بمركز للدائرة وكذلك سائر النقط التى تفرض فى الدائرة حيث فرضت منها غير ممكن ان تكون مركزا للدائرة سوى نقطة ح معما قد تبين من وجودنا لمركز الدائرة قد تبين ايضا ان كل وترين يقسم احدهما الاخر بنصفين وعلى زوايا قائمة فان عليه يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين. تبين انه لا يكون وتران فى دائرة يقطع احدهما الاخر بنصفين على زاوية قائمة الا وهو يجوز على مركز الدائرة.

[chapter 3: III 2] الشكل الثانى من المقالة الثالثة

Page 10

اذا فرض على محيط دائرة نقطتان كيف ما وقعتا ووصل بينهما بخط مستقيم فان الخط المستقيم الذى يصل بين النقطتين يقع داخل الدائرة مثاله انا نفرض على دائرة اب نقطتى جد ونخرج خط جد مستقيما فاقول انه وقع داخل دائرة اب برهانه انه غير ممكن ان يقع خارجا عن الدائرة فان امكن فليقع على مثال خط جهد ونطلب مركز الدائرة بحسب برهان الشكل الاول من هذه المقالة وننزل انها نقطة ز ونصل بين نقطتى جز ونقطتى زد ونخرج من نقطة ز الى محيط دائرة اب خطا مستقيما كيف ما وقع وننزل انه خط زب وننزل انا قد انفذناه الى نقطة ه فان كان كما انزلنا ان خط جهد مستقيم فمن البين ان مثلث جهدز متساوى الساقين لان ساق جز مساو لساق زد لانهما خرجا من المركز الى المحيط فزاوية زجه مثل زاوية زده وبحسب يو من ا فان زاوية زهج الخارجة من مثلث زده اعظم من زاوية زده الداخلة فزاوية زهج اذا اعظم من زاوية زجه لكن بحسب برهان يط من ا يكون ضلع زج الموتر للزاوية العظمى اعظم من ضلع هز الموتر للزاوية الصغرى لكن خط زج مساو لخط زب فخط زب اذا اعظم من خط زه الاصغر اعظم من الاعظم هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 4: III 3] الشكل الثالث من المقالة الثالثة

Page 12

اذا اجيز على مركز دائرة خط مستقيم فقطع خطا اخر مستقيما ليس على المركز بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه على زوايا قائمة فانه يقطعه بنصفين مثاله ان دائرة اب مركزها نقطة ز وقد اجيز على ز خط اب وقد قطع خط جد على نقطة ه فاقول ان كان قطعه بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه على (على) زوايا قائمة فانه يقطعه بنصفين برهانه انا ننزل اولا انه قطعه بنصفين على نقطة ه ونخرج [من ن]قطة ز المركز خطى زج زد فلان خط جه مثل خط هد وناخذ هز مشتركا فان خطى جه هز مثل خطى ده هز [فق]اعدة جز مثل قاعدة دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ح من ا تصير زاوية جهز [مس]اوية لزاوية دهز وبحسب مصادرة ا اذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان الل[تان ع]ن جنبتى الخط القائم متساويتين فان كل واحد من الزاويتين يقال لها قائمة فزاويتا جهز دهز كل واحد[ة من هم]ا قائمة فقد تبين ان خط اب لما قطع خط جد بنصفين قطعه على زوايا قائمة وننزل ايضا ان خط اب قد قطع خط جد على نقطة ه على زوايا قائمة فاقول انه قد قطعه بنصفين برهانه ان مثلث جزد متساوى الساقين ساق زد مثل ساق زج لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ه من ا فان زاوية زجد مساوية لزاوية زدج وقد كنا بينا ان زاوية جهز القائمة مثل زاوية دهز فزاويتا زجه زهج مساويتان لزاويتى زده زهد فبحسب برهان لب من ا تبقى زاوية جزه مساوية لزاوية دزه فاذا اخذنا خط زه مشتركا فانه يكون ضلعا جز زه مساويين لضلعى دز زه وزاوية جزه قد تبين انها مثل زاوية دزه فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة جه مثل قاعدة ده فقد تبين ان خط اب قد قطع خط جد بنصفين وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 5: III 4] الشكل الرابع من المقالة الثالثة

Page 14

اذا تقاطع خطان فى دائرة على غير المركز فانهما لا يتقاطعان على انصافهما مثاله ان خطى جد هز قد تقاطعا فى دائرة اب على نقطة ح وليس واحد منهما يجوز على المركز فاقول انهما لم يتقاطعا على انصافهما وانه غير ممكن ذلك فان امكن ان يجوز على غير المركز ويقطع احدهما الاخر بنصفين فليتقاطعا على انصافهما ولننزل ان موضع التقاطع نقطة ح ونستخرج مركز دائرة اب كما بين ذلك ببرهان ا من ج وليكن نقطة ط ونصل بين نقطتى طح بخط مستقيم فمن اجل انه قد خرج من نقطة ط التى هى المركز خط طح المستقيم وقسم خط جد بنصفين فبحسب برهان ج من ج فان خط طح عمود على خط جد فزاوية دحط اذا قائمة وايضا فان خط طح عمود على (من المركز الى) خط زه وقسمه بنصفين على نقطة ح فبحسب برهان ج من ج فان خط طح عمود على خط هز فزاوية زحط اذن قائمة وقد تبين ان زاوية دحط ايضا قائمة فزاوية زحط اذن مساوية لزاوية دحط العظمى مثل الصغرى هذا خلف فقد تبين ان خطى جد هز لا يتقاطعان على انصافهما على غير المركز فقد بقى ان يكون تقاطعهما على المركز لان الخطوط الخارجة من المركز الى محيط الدائرة متساوية وذلك ما اردنا ان نبين

[chapter 6: III 5] الشكل الخامس من المقالة الثالثة

Page 16

اذا تماست دائرتان فانهما لا تكونان على مركز [واحد] مثاله ان دائرتى اب اج قد تماستا على نقطة ا فاقول انهما لا تكونان على مركز واحد. برهانه ان امكن ان تكونا على مركز واحد فلننزل انهما على مركز د ونخرج خط اد ونخرج من نقطة د خطا الى دائرة اب كيف اتفق وليكن خط دب فمن اجل ان نقطة د مركز لدائرة اج فمن البين ان خط اد مساو لخط [د]ج وايضا فلان نقطة د مركز لدائرة اب وقد خرج منها خطان الى المحيط وهما خطا اد [دب] فخط اد اذن مساو لخط دج والمساوية لشىء واحد فهى متساوية فخط دب اذن مساو لخط دج الاعظم مساو للاصغر هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين قال ايرن انما قدمنا المتماسة على المتقاطعة لان المماسة قبل التقاطع.

[chapter 7: III 6] الشكل السادس من المقالة الثالثة

اذا تقاطعت دائرتان فانهما ليستا على مركز واحد مثاله ان دائرتى ازج ادج تقاطعتا على نقطتى اج فاقول ان دائرتى ازج ادج ليستا على مركز واحد برهانه انه ان امكن فليكن مركزهما واحدا وننزل انه نقطة ه ونخرج من نقطة ه الى نقطة ا خط ها فمن البين انه قد انتهى الى محيط الدائرتين جميعا ونخرج خط هد الى محيط دائرة ادج كيف اتفق اخراجه فمن اجل ان نقطة ه مركز دائرة ازج يكون خط ها مساويا لخط هز وايضا فمن اجل ان نقطة ه مركز لدائرة ادج يكون خط ها مساويا لخط هد وقد تبين ان خط ها مساو لخط هز والمساوية لشى واحد فهى متساوية خط هد اذن مساو لخط هز الاعظم مثل الاصغر هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين

[chapter 8: III 7] الشكل السابع من المقالة الثالثة

Page 18

اذا فرض على قطر دائرة علامة ما ليست بمركز الدائرة واخراج من تلك العلامة الى محيط الدائرة خطوط مستقيمة فان اعظم الخطوط الذى عليه مركز الدائرة واصغرها باقى القطر واما الخطوط الاخرى فما قرب منها من المركز كان اعظم مما بعد منها عنه وخطان فقط عن جنبتى القطر متساويان مثاله ان دائرة ابجد قطرها جد ونفرض عليه نقطة لا تكون على المركز ولتكن نقطة ه والمركز نقطة ط ونخرج من نقطة ه الى محيط الدائرة خطوطا كم شئنا وكيف وقعت ولتكن خطوط ها هح هز فاقول ان اطول هذه الخطوط كلها الخط الذى عليه المركز وهو خط هج واقصرها خط هد والباقية فما قرب منها من نقطة ط فهو اعظم مما بعد عنها. اقول ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط ها برهانه انا نخرج من نقطة ط خطوط طز طح طا فمن اجل ان نقطة ط مركز فان خط طز مساو لخط طح وناخذ خط هط مشتركا فخطا هط طز مساويان لخطى هط طح وزاوية هطز اعظم من زاوية هطح فبحسب برهان ڪد من ا فان خط هز اعظم من خط هح لكن خط طز مساو لخط طج فخط هط مع خط طز مساو لخط هج وخط هط مع خط طز اعظم من خط هز وذلك ببرهان ڪ من ا فخط هج اذن اعظم من خط هز وقد تبين ان خط هز اعظم من خط هح وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان خط هح اعظم من خط ها وايضا فان خطى اه هط اعظم من خط اط لكن خط اط مساو لخط دط فاذا خطا اه هط اعظم من خط دط فاذا اسقطنا خط هط [الم]شترك بقى خط اه اعظم من خط هد فقد تبين ان اطول هذه الخطوط كلها خط هج الذى على [عليه .scr] المركز [و]اصغرها تمام القطر الذى هو خط هد والباقى فما قرب من المركز اعظم مما بعد عنه اعنى [ان] قد تبين ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط اه. واقول انه يخرج من [نقطة] ه عن جنبتى القطر الذى هو خط دج الى محيط الدائرة خطان متساويان برهانه انا نخرج من نقطة [ه الى] قوس دڪج خطوطا مستقيمة مساوية لخطوط ها هح هز فنعمل على نقطة ط من خط طج زاوية مثل زاوية اطه كما بينا عمله ببرهان ڪج من ا ولتكن زاوية بطه ونعمل عليها ايضا زاوية مثل زاوية حطه وننزل انها زاوية ڪطه وايضا زاوية مثل زاوية زطه ولتكن زاوية لطه ونخرج خطوط هب هڪ هل فمن اجل ان نقطة ط مركز الدائرة فان خطوط طا طڪ طل تكون متساوية ولانا عملنا زاوية بطه مساوية اطه فانا اذا اخذنا خط طه مشتركا يكون خطا هط طب مساويين لخطى اط طه وزاوية اطه مساوية لزاوية هطب فبحسب برهان د من ا يكون خط اه مساويا لخط هب وتبين ايضا ان خط هڪ مساو لخط هح لانا عملنا زاوية هطڪ مساوية لزاوية حطه فضلعا حط طه مساويان لضلعى ڪط طه وزاوية حطه مثل زاوية ڪطه فخط هح مساو لخط هڪ وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان خط طز مساو لخط طل فقد تبين ان خطين عن جنبتى القطر متساويان وذلك ما اردنا ان نبين فاقول انه غير ممكن ان نخرج من نقطة ه الى قوس دڪج خطوط مساوية ها هح هز غير خطوط هب هڪ هل فان امكن فلنخرج مثل خط هم ونصل مط فخط طم مساو لخط طا لانهما اخرجا من المركز الى المحيط فناخذ خط هط مشتركا فخطا مط طه مساويان لخطى اط طه وقاعدة هم مساوية لقاعدة ها فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية مطه مساوية لزاوية اطه لكنا عملنا زاوية بطه مساوية لزاوية اطه فزاوية مطه اذن مساوية لزاوية بطه العظمى مثل الصغرى هذا خلف غير ممكن وبمثل هذا البرهان يتبين انه لا يمكن [ان نخرج من نقطة ه] الى قوس جڪد خطوط غير هب هڪ هل يساوى خطوط ها هح هز وذلك ما اردنا ان نبين. قال ايرن هذا الشكل قد بين فيه الرياضى ان الخطوط القريبة من المركز اعظم من البعيدة عنه بان صير الخطين فى جهة واحدة من المركز فان فرص لنا خطان من جنبتى المركز احدهما اقرب اليه من الاخر فانا نبين ان اقربهما اليه اعظم من ابعدهما عنه بهذا العمل. نفرض دائرة ابج وقطرها بج ومركزها د نفرض على بج نقطة ه ونخرج منها الى المحيط ها هز ونجعل ها اقرب الى المركز من هز فاقول ان ها اعظم من هز برهانه انا نخرج من د عمودى دح دط وخطى دا دز فلان اه اقرب الى المركز من زه فبحسب مصادرة هذه المقالة يكون عمود دط اعظم من عمود دح فمربع خط دط اعظم من مربع خط دح فمن اجل ان كل وا[حدة] من زاويتى دطه دحه قائمة فببرهان مو من ا فان مربع دط مع مربع طه مساو لمربع ده وكذلك مربع دح مع مربع حه مساو لمربع ده فمربع دط مع مربع طه اذن مساو لمربع دح مع مربع حه ولكن مربع دط قد تبين انه اعظم من مربع دح فيبقى اذن مربع هح اعظم من مربع هط فخط هح اذن اعظم من خط هط. وايضا فلان زاويتى احد زطد كل واحدة منهما قائمة فببرهان مو من ا يكون مربع زط مع مربع طد مساويا لمربع دز ومربع اح مع مربع حد مساويا لمربع اد لكن خط اد مساو لخط دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فمربع اح اذن مع مربع حد مساو لمربع زط مع مربع طد وقد تبين ان مربع دط اعظم من مربع دح فاذا اسقطناهما بقى مربع اح اعظم من مربع زط فخط اح اذا اعظم من خط زط وقد بينا ان خط هح اعظم من خط هط فخط ها اذن اعظم من خط هز وذلك ما اردنا ان نبين. وقال ايرن ايضا فان كان الخط الذى يخرج من علامة د عمودا على خط هز لا يقع على خط هز لكن على الخط المتصل به على استقامة كعمود دح فمن اجل ان خط دز مساو لخط دا لانهما خرجا من المركز الى المحيط ومربعى دط طا مساويان لمربع اد ومربعى دح حز مساويان لمربع دز فان مربعى دح حز مساويان لمربعى دط طا لكن مربع دح اعظم من مربع دط فاذا اسقطناهما بقى مربع اط اعظم من مربع حز فخط اط اذن اعظم من خط زح فاذا اسقطنا من خط حز خط حه وزدنا على خط اط خط طه فمن البين ان جميع خط ها اعظم من خط هز بكثير وذلك ما اردنا ان نبين

[chapter 9: III 8] الشكل الثامن من المقالة الثالثة

Page 26

اذا فرضت نقطة خارج دائرة واخرج منها الى الدائرة خطوط مستقيمة احدها يجوز على المركز والاخر كيف ما وقعت من محيط الدائرة فان اعظمها هو الذى يجوز على المركز واصغرها الذى يصل بين النقطة وبين القطر واما الخطوط الاخر فما كان منها يقطع الدائرة ويلقى اخمصها فان ما قرب منها من قطر الدائرة فهو اعظم مما بعد عنها وما كان منها لا يقطع الدائرة ولكن يلقى حدبتها فان ما بعد عن القطر منها يكون اعظم مما قرب منه وقد يخرج من تلك النقطة عن جنبتى القطر الى الدائرة خطان من التى تلقى اخمصها ومن التى تلقى حدبتها متساويان مثاله انا نفرض دائرة اب ونفرض (من) نقطة ج خارجها ونخرج خطوط جد جه جز جا تقطع الدائرة وتلقى اخمصها الذى هو قوس دا وخطوط جط جڪ جل تلقى حدبته التى هى قوس حل وخط جد يمر بنقطة م التى هى المركز فاقول ان اعظمها من التى تقطع الدائرة خط جد والباقية فما قرب من خط جد هو اعظم مما بعد عنه وما بعد عن خط جد [من] الخطوط التى تلقى حدبة الدائرة اعظم مما قرب منه واقصر الخطوط كلها خط جح وقد تخرج [من] ج عن جنبتى خط جد الذى هو القطر خطوط تقطع الدائرة وتلقى اخمصها يكون خطان منهم عن جنبتى القطر متساويين برهانه انا نخرج خطوط ما مز مه فخطوط ما مز مه مد متساوية لانها خرجت من المركز الى المحيط ومن اجل ان كل مثلث فان كل ضلعين من اضلاعه اذا جمعا [كانا] كخط واحد هو اعظم من الضلع الثالث فبحسب برهان ڪ من ا فان خط جم مع خط مه اعظم من خط جه لكن خط مد مساو لخط مه فخط جد اذا اعظم من خط جه ولان ضلعى جم مه من مثلث جمه مساويان لضلعى جم مز من مثلث جمز وزاوية جمه بين انها اعظم من زاوية جمز فبحسب برهان ڪد من ا تكون قاعدة جه اعظم من قاعدة جز وكذلك يتبين ان خط جز اعظم من خط جا فقد تبين ان اعظم الخطوط جد وان جه الاقرب الى جد اعظم من جز الابعد وان جز اعظم من جا فاقول ايضا ان خط جط الذى هو ابعد من خط جد اعظم من خط جڪ الاقرب وجڪ اعظم من جل واقصرها كلها خط جح برهانه انا نخرج خطوط مط مڪ مل فمن اجل ان كل مثلث فان ضلعين من اضلاعه كخط واحد اعظم من الضلع الثالث فان مل لج اعظم من مج لكن مل مثل مح فاذا اسقطناهما بقى لج اعظم من حج ومن اجل مثلث مڪج قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه وهو ضلع مج خطان فالتقى طرفاهما على نقطة ل داخل المثلث فان بحسب برهان كا من ا يكون خط مل مع خط لج اصغر من خط مڪ مع خط ڪج لكن خط مڪ مثل خط مل فاذا اسقطناهما بقى خط جڪ اعظم من خط جل وكذلك يتبين ان خط جط اعظم من خط جڪ فقد نبين ان اعظم هذه الخطوط جط واقصرها دح [جح .s] وان جط اعظم من جڪ وجڪ اعظم من جل وجل اعظم من جح واقول ايضا انه قد تخرج من نقطة ج خطوط عن جنيتى خط جد تقطع الدائرة وتلقى اخمصها كل خطين خطين نظيرين منها متساويان برهانه انا نعمل على نقطة م من خط جم زاوية مثل زاوية جمه كما بين عملها ببرهان كج من ا ولتكن زاوية جمب فلان خط مب مساو لخط مه ونخرج خط جم مشتركا يكون خطا جم مب مساويين لخطى جم مه وزاوية جمب عملت مساوية لزاوية جمه فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة جه مساوية لقاعدة جب وكذلك لو اردنا ان نخرج خطين اخرين يكون الذى يتلو خط جب مساويا لخط جز والرابع مساويا لخط جا لعملنا على نقطة م من خط جم زاويتين مثل زاويتى جمز جما ثم نصل بين نقطة ج وبين طرف الخط الذى عملت الزاوية عليه من محيط الدائرة فاقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ج الى قوس دبح خط اخر مساو لخط جه غير خط جب ولا خط اخر مساو للخطوط الاخر سوى الخطوط التى خرجت فان امكن فليكن جس ونخرج خط مس فمن اجل ان خط مب مساو لخط مس لانهما خرجا من المركز فانا اذا اخذنا خط جم مشتركا يكون خط جم مع خط جب مثل جم مع جس وزاوية جمب اعظم من زاوية جمس فبحسب برهان ڪد من ا يكون جب اعظم من جس وكنا فرضناهما متساويين هذا خلف فليس يمكن اذن ان يخرج من نقطة ج الى قوس دبح خط مستقيم مساو لخط جب ولا لسائر الخطوط المساوية لخطوط جه جز جا واقول ايضا وقد تخرج من نقطة ج خطوط عن جنبتى خط جح تلقى حدبة الدائرة ويكون كل خطين خطين نظيرين عن جنبتى خط دح متساويين برهانه انا نعمل على نقطة م من خط جم زاوية مثل زاوية جمل ولتكن زاوية جمع ونصل جع فخط مع مساو لخط مل لانهما خرجا من المركز وناخذ جم مشتركا فخطا عم مج مثل خطى لم مج وزاوية عمج عملت مساوية لزاوية لمج فقاعدة جل مثل قاعدة جع وبمثل هذا العمل نخرج من نقطة ج الى تقبيب سح خطوطا مساوية لخطوط جڪ جط واقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ج الى تقبيب سح جط اخر مساو لخط جع فان امكن فليكن مثل خط جف ونصل بين نقطتى مف فمن اجل ان مثلث جمف قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه خطا جع مع والتقى طرفاهما داخل المثلث على نقطة ع فمن البين بحسب برهان كا من ا ان [خط] جف مع خط فم اعظم من خط جع مع خط عم لكن خط مف مساو لخط مع لانهما خرجا من المركز الى المحيط فاذا اسقطناهما بقى خط جف اعظم من خط جع وكنا فرضناهما متساويين وهذا خلف غير ممكن فقد تبين انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ج خط يلقى تقبيب حس مساو لخط حع ولا لسائر الخطوط التى هى نظاير لخطوط جل جڪ دط (جط .s) وذلك ما لردنا ان نبين.

Page 34