تضريس فيه ولا انخفاض ، بل كان أملسا (1)، فلا بد وأن تلاقيه ويمنعها من الهبوط بواسطة التماس ، فموضع الملاقاة إما أن يكون منقسما أو لا يكون ، والأول محال لاستلزامه تضليع الكرة الحقيقية ؛ لأن ذلك الموضع المنقسم منطبق على السطح المستقيم والمنطبق على المستقيم مستقيم ، فيكون ذلك الموضع مستقيما ، ثم إذا حركنا الكرة على ذلك السطح وزالت الملاقاة الأولى عن ذلك الموضع وحصلت الملاقاة على موضع آخر يتلو الأول ويلاصقه ، فذلك الموضع إما أن يكون منقسما أو لا يكون ، فإن كان لزم أن يكون منقسما لما تقدم من انطباقه على المستوي ، وهكذا إلى أن تتم الكرة الدورة فتكون مضلعة ، وهذا خلف ، فبقي أن تلاقيه في كل حال تعرض ملاقاتها له بنقطة ، ثم إذا زالت عن الملاقاة الأولى فإنها لا تخرج بذلك عن الملاقاة البتة بل تكون ملاقية له ويجب أن تكون بنقطة ، فتكون هناك نقط متعاقبة ؛ لأن الملاقيات متعاقبة وإلا لكان في بعض أزمنة حركات الكرة لا تكون مماسة لذلك السطح ، هذا خلف.
وأيضا برهن اقليدس على أن كل خط مستقيم يصل بين نقطتين من الدائرة فإنه يقع داخلها ، فلو كان موضع الملاقاة منقسما لارتسم خط على ظاهر الكرة منطبقا على السطح فيقع ذلك الخط داخل الكرة وخارجها ، وهو محال.
ولأن موضع الملاقاة إن كان منطبقا على السطح المستقيم وكان بمنقسم أمكن أن يخرج من المركز خطان ينتهيان إلى طرفي موضع الملاقاة وهما طرفا الخط الذي به (2) تقع الملاقاة ، فيصير مع الخط المرتسم من موضع الملاقاة خطوط ثلاثة محيطة بسطح ، فيحصل مثلث قاعدته موضع الملاقاة ، فإذا أخرجنا من مركز الدائرة إلى قاعدة المثلث الواقع في الدائرة عمودا قائما عليه كانت الزاويتان
Page 423