و . خذ هذه المسافة، واقسمها على عدد ما (

هو الأسهل)، ثم أضف خارج القسمة على العدد الأصغر . سيصير لديك الآن عدد نسبي جديد، ، بين

و . وبما أن العدد الذي يتألف من أعداد صحيحة صريحة يمكنك قسمة

عليها قبل إضافة خارج القسمة إلى

هو عدد لا نهائي، فإنه يوجد فعليا عدد لا نهائي من نقاط الأعداد النسبية بين

و . فكر في الأمر قليلا حتى تفهمه أكثر، وعندئذ ستعلم أنه حتى بالنظر إلى الكثافة اللانهائية لعدد الأعداد النسبية اللانهائي على خط الأعداد، فإنك تستطيع إثبات أن النسبة المئوية الكلية للحيز الفارغ على خط الأعداد الذي تشغله كل الأعداد النسبية اللانهائية معدومة؛ أي تساوي صفرا. ويمثل برهان كانتور النسخة الرياضية المتخصصة من هذا البرهان، ولاحظ كيف أنه يستند في جوهره إلى مفهوم الاستنفاد ليودوكسوس، حتى بصيغته التالية باللغة الطبيعية، التي تتطلب قدرا ضئيلا من التصور الإبداعي.

تخيل أنك تستطيع رؤية خط الأعداد بالكامل، وكذلك رؤية كل نقطة من النقاط الفردية اللانهائية التي يتألف منها. تخيل أيضا أنك تريد طريقة سهلة وسريعة لتمييز النقاط المناظرة لأعداد نسبية عن تلك المناظرة لأعداد غير نسبية. ما ستفعله هو تحديد النقاط المناظرة لأعداد نسبية بوضع منديل أحمر زاه

48

فوق كل منها، وهكذا ستكون بارزة. وبما أن النقاط الهندسية ليست لها أبعاد، فإننا لا نعلم كيف تبدو، ولكن ما نعرفه أن تغطية أي منها لا يتطلب منديلا أحمر كبيرا للغاية. والمنديل الأحمر هنا يمكن في الحقيقة أن يكون صغيرا نسبيا، لنقل - مثلا -

وحدة، أو نصف هذا الحجم أو ربعه، وهكذا. وفي الواقع، فإن أصغر منديل سيكون كبيرا بلا داع، لكن فيما يخص نقاشنا هنا يمكننا القول إن المنديل صغير على نحو لا متناه بالأساس - ولنسم هذا الحجم . ومن ثم، فإن منديلا بالحجم

Unknown page