و ، فإن

إذا وإذا فقط كان

و

و . قد يبدو هذا واضحا أو بسيطا من الوهلة الأولى.

40

لاحظ، على سبيل المثال، كيف يشبه قاعدة الضرب التبادلي للكسور التي تعلمناها في الصف الرابع. ولكن هذا في الحقيقة ليس بسيطا على الإطلاق. فعلى الرغم من أن يودوكسوس لم يكن يعني تطبيقه إلا على المقادير الهندسية وليس على الأعداد في حد ذاتها، فإن التعريف يعمل على تحديد الأعداد النسبية وتمييزها عن الأعداد غير النسبية وعن الكميات الهندسية المختلفة، على نحو غير قابل للامتزاج، وهكذا. وفضلا عن ذلك، يرجى ملاحظة كيف أن تعريف يودوكسوس يمكن تطبيقه بنجاح على مجموعة غير منتهية بأكملها، ولتكن مجموعة كل الأعداد النسبية.

41

وما فعله يودوكسوس أنه استخدم أعدادا صحيحة اختيارية لتقسيم

42

مجموعة كل الأعداد النسبية إلى مجموعتين جزئيتين: مجموعة كل الأعداد النسبية التي تحقق ، ومجموعة كل الأعداد النسبية التي تحقق . ومن ثم، فإن نظريته هي أول نظرية تستطيع أن تضع - على نحو شامل ومحدد

Unknown page