الزوايا المستقيمة الخطين التى تقع فى دائرة ما كان منها فى نصف دائرة فهو قائم وما كان منها فى قطعة اعظم من نصف دائرة فهو حادة وما كان منها فى قطعة اصغر من نصف دائرة فهو منفرج واما الزاوية التى يحيط بها خط الوتر وخط القوس فان القطعة ان كانت اعظم من نصف دائرة فالزاوية منفرجة وان كانت اصغر من نصف دائرة فالزاوية حادة مثاله ان دائرة اب وقع على خط محيطها زوايا ادب داب ازد وزاوية ادب فى قطعة ادب وهى نصف دائرة وزاوية داب فى قطعة داجب وهى اعظم من نصف دائرة وزاوية ازد فى قطعة ازد وهى اصغر من نصف دائرة فاقول ان زاوية ازد منفرجة وزاوية داب حادة وزاوية ادب قائمة برهانه انا نخرج قطر اب ونستخرج المركز وهو نقطة ط ونصل هد فمن اجل ان نقطة ه مركز للدائرة وقد خرج منها الى المحيط خطوط ها هب هد فهى اذن متساوية فمثلث هاد متساوى الساقين فببرهان ه من ا تكون زاوية هاد مساوية لزاواية هدا فمن اجل ان زاوية دهب خارجة من المثلث فببرهان لب من ا تكون زاوية دهب مساوية لزاويتى هاد هدا فزاوية دهب اذن ضعف زاوية [ه]دا وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان زاوية اهد ضعف زاوية هدب فمجموع زاويتى دها دهب ضعف جميع زاوية ادب ومن اجل انه اذا قام خط على خط فان الزاويتين اللتين عن جنبتيه اما قائمتان واما مساويتان لقائمتين فببرهان يج من ا فان مجموع زاويتى دها دهب مساو لزاويتين قائمتين وهو ضعف زاوية ادب فزاوية ادب اذن قائمة. وايضا فمن اجل ان مثلث ادب فيه زاوية قائمة وهى زاوية ادب فببرهان يز من ا تكون زاوية داب حادة وهى فى قطعة داجب التى هى اعظم من نصف دائرة. وايضا فان زاوية ابد حادة لانها فى مثلث ابد القائم الزاوية ومن اجل ان سطح اٮدز ذو اربعة اضلاع فى دائرة اب فببرهان ڪا من ج فان كل زاويتين منه تتقابلان مساويتان لزاويتين قائمتين وزاويتا ازد ابد متقابلتان فهما اذا جميعا مساويتان لزاويتين قائمتين وزاوية ابد منهما قد بينا انها حادة فيبقى اذن زاوية ازد اعظم من زاوية قائمة فهى اذن منفرجة وهى فى قطعة ازد التى هى اصغر من نصف دائرة فقد تبين ان كل نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة على محيطها تكون قائمة وكل قطعة هى اعظم من نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة فيها تكون حادة وكل قطعة هى اصغر من نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة على محيطها تكون منفرجة وذلك ما اردنا ان نبين. وايضا اقول ان الزاوية التى يحيط بها قوس بد ووتر دا منفرجة وهى زاوية قطعة ازد برهانه انا نخرج خط بد على الاستقامة الى نقطة ح فلان زاوية ادب قائمة فانا متى رفعنا وتر بد كانت الزاوية التى يحيط بها قوس بد وخط اد اعظم من قائمة فهى اذن منفرجة ومن اجل ان خط اد قائم على خط بح المستقيم وزاوية ادب قائمة فان زاوية ادح ايضا تكون قائمة وذلك بين ببرهان يج من ا فاذا اسقطنا الزاوية التى يحيط بها تقبيب زد وخط دح بقيت الزاوية التى يحيط بها قوس زد وخط اد حادة وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 32: III 31] الشكل الواحد والثلثون من المقالة الثالثة

مخ ۱۰۸