توجد صيغة معدلة من نظرية الأنماط - وهي صيغة أبسط من الصيغة التي وضعها راسل - تحمل هذا المعنى وتبدو جديرة بالتصديق في رأي بعض علماء المنطق. وكان من اقترحها هو عالم الرياضيات والفيلسوف فرانك رامزي، وتعرف هذه النسخة باسم «النظرية البسيطة للأنماط». وهذه النظرية تسير كما يأتي: اللغة التي تنطبق على حقل معين تحمل تعبيرات جبرية من المستوى 1 - الأسماء - وتشير إلى الأشياء الموجودة في الحقل، وتحمل تعبيرات جبرية من المستوى 2 - المحمولات - وتشير إلى صفات تلك الأشياء فقط، وتحمل تعبيرات جبرية من المستوى 3 - محمولات المحمولات - وتشير إلى صفات تلك الصفات فقط ... وهكذا. والقاعدة هي أن كل تعبير جبري ينتمي إلى نمط معين ولا ينطبق إلا على التعبيرات الجبرية من النمط التالي الذي يليه في التسلسل الهرمي. وفي ضوء الوصف المبسط الذي ذكرته، نرى كيف أن هذه الاستراتيجية تقدم حلا لمشكلة التناقض الظاهري.

تعرف النسخة المعقدة من نظرية الأنماط التي وضعها راسل باسم «النظرية المتشعبة للأنماط». (فهم هذه النظرية فهما صحيحا من الأمور الخلافية - انظر، على سبيل المثال، هايلتون 1990، الفصل السابع - ولكن الوصف التالي قد يقدم تقريبا أوليا.) كان السبب الذي دفع راسل إلى ابتكار «التشعب» - ويقصد به التقسيم الداخلي للأنماط إلى «رتب» - هو أنه كان يعتقد أن العثور على حل لمشكلة التناقض الظاهري كان يتطلب ذلك بالتحديد. وكان تصوره أن مشكلة التناقض الظاهري تنشأ من محاولة تعريف الصفات باستخدام تعبيرات جبرية تحتوي على إشارة إلى «كل الصفات»؛ لذلك كان لا بد من التحكم بشدة في الحديث عن «كل الصفات»؛ ومن ثم، يجب تقسيم صفات النمط 1، مثلا، تقسيما فرعيا إلى رتب: رتبة أولى من الصفات لا يرد في تعريفها التعبير الجبري «كل الصفات»؛ ورتبة ثانية من الصفات يرد في تعريفها التعبير الجبري «كل صفات الرتبة الأولى»؛ ورتبة ثالثة يرد في تعريفها التعبير الجبري «كل صفات الرتبة الثانية»؛ وهكذا. وما دام لا ترد إشارة قط إلى «كل الصفات» ولا تنسبها إلى رتبة محددة، فلا تعرف أي صفة بحيث يشار إلى المجموعة الكلية التي تنتمي إليها. وتضمن هذه الطريقة تجنب التناقض الظاهري.

ولكنها تحقق هذه النتيجة على حساب جانب آخر؛ فهي تتسبب في إدخال صعوبات في نظرية الأعداد الحقيقية بحجب أهم تعريفاتها ونظرياتها. وللتغلب على هذه المشكلة ابتكر راسل بديهية القابلية للاختزال، وتحاول هذه البديهية تصميم طريقة لاختزال الرتب الموجودة ضمن نمط ما إلى الرتبة الأدنى. وتخلى راسل عن هذه الخطوة في الطبعة الثانية من كتاب «أصول الرياضيات» (1927) بعد أن شبهها أحد المعلقين باستخدام «القوة المفرطة» لإنقاذ نظرية الأعداد الحقيقية. ولكنه وجد نفسه في مأزق لأنه لم يستطع قبول وجود أي بديل للنظرية المتشعبة للأنماط. وفي رد فعل لهذا الموقف، قدم رامزي النظرية «البسيطة» للأنماط التي سبق وصفها. (تجدر الإشارة إلى أن نظرية رامزي تستدعي المناقشة في حد ذاتها؛ فهي تقدم طرحا خلافيا مفاده أن الطابع الدائري الذي تتسم به التعريفات التي تنسب الصفات إلى نفسها غير ضار؛ وتتطلب النظرية اعتناق وجهة نظر واقعية خلافية بالقدر نفسه عن وجود المجموعات الكلية قبل تعريفها.)

اصطدمت طموحات راسل المتعلقة بالنزعة المنطقية بصعوبات، وهو ما يرجع في جزء منه إلى طبيعة الطموحات نفسها وفي جزء آخر إلى أن النزعة المنطقية نفسها غير قابلة للتنفيذ، وذلك كما توحي التطورات اللاحقة التي شهدتها الرياضيات، ولا سيما أعمال كيرت جوديل. برهن جوديل على أن أي نظام منهجي يلائم نظرية الأعداد ينطوي على معادلة غير قابلة للتحديد، بمعنى أنها معادلة لا يمكن إثبات صحتها أو إثبات نفيها. ومن النتائج المباشرة لهذه النظرية أن يتعذر إثبات اتساق مثل هذا النظام داخل النظام؛ لذلك لا يستطيع المرء افتراض أن الرياضيات (أو أيا من أقسامها الكبرى) يمكن تزويدها بمجموعة من البديهيات الكافية لإنتاج كل حقائقها. وتبرهن أعماله على أن المنهج القائم على البديهيات ينطوي على عوائق شديدة متأصلة، وأن الطريقة الوحيدة لإثبات اتساق الكثير من أنواع أنظمة الاستدلال هي استخدام نظام استنتاج معقد إلى حد يجعل اتساقه هو نفسه محل شك بالقدر نفسه.

كان ما يحتاج إليه راسل لمواصلة مشروعه المنطقي هو تنظيما منهجيا يستبعد إمكانية التناقض. وتفيد أعمال جوديل أن هذا مستحيل. ولا بد من أن نستنتج من ذلك أن الإنجاز الذي أحرزه كتاب «مبادئ الرياضيات»، وكتاب «أصول الرياضيات» بوجه خاص، لا يكمن في درجة تحقيق كل منهما لأهدافه المعلنة، بل فيما يمكن أن يطلق عليه «النتائج الاشتقاقية» المهمة التي حققاها في مجالي المنطق والفلسفة.

نظرية الأوصاف

كان من أبلغ النتائج الاشتقاقية تأثيرا «نظرية الأوصاف» التي وضعها راسل. وحقق راسل باستنباط هذه النظرية المهمة عددا من الأهداف المختلفة؛ فمن الدروس التي استفادها من انتقاد المذهب المثالي هو أن القواعد النحوية السطحية للغة من الممكن أن تضللنا بخصوص معنى ما نقوله. كما سبق، كان راسل يظن أن السبب الذي كان يدفع الفلاسفة إلى اعتناق ميتافيزيقا المادة والصفة - وهو رأي يتوغل في صعاب عويصة، كما يتبين من الجدل الذي شهده تاريخ الفلسفة - هو أنهم رأوا أن كل القضايا تتخذ صيغة موضوع ومحمول أساسا؛ فقد تناول الفلاسفة عبارتي «الطاولة مصنوعة من الخشب» و«الطاولة تكون إلى يسار الباب» على أن الموضوع في كل منهما هو كلمة «الطاولة»، وأن المحمول هو الكلمات التي تلي الفعل الرابط «فعل الكينونة» في كلتيهما. ولكن فيما يمكن أن تعد الجملة الأولى قضية من هذا النوع، فإن الجملة الثانية تعبر عن شيء مختلف بعض الشيء؛ قضية ارتباطية، وهي في الواقع تحتوي على موضوعين («الطاولة» و«الباب»)، وهي تؤكد على أن كلا منهما تجمعه رابطة معينة بالآخر. وهكذا فإن الصيغة المنطقية للجملة الثانية مختلفة بعض الشيء عن الصيغة المنطقية للجملة الأولى؛ ومن ثم، كان لا بد - من وجهة نظر راسل - من وجود منهج لكشف الصيغة الكامنة الحقيقية لما نقوله من أجل مساعدتنا على تجنب الأخطاء الفلسفية.

وكانت الخطوة المهمة التالية التي اتخذها راسل هي تطبيق المنطق الجديد على هذه المهمة. ومثلما يفيد المنطق الجديد في تعريف مفاهيم الرياضيات وعملياتها، فهو يفيد أيضا في تحليل ما نقوله عن العالم؛ وبهذا نحصل على صورة صحيحة عن الواقع.

ولعرض كيفية تنفيذ نظرية الأوصاف لهذه المهمة، يمكن وصف كيفية حل هذه النظرية لمشكلة مهمة تتعلق بالمعنى والإسناد. تأتي أصول تناول راسل لهذه المشكلة في أعمال الفيلسوف النمساوي أليكسيوس مينونج، وقد درسها راسل دراسة متأنية؛ ولذلك كانت من المؤثرات المبكرة التي تأثر بها. كان مينونج يرى أن العبارات الدالة - أسماء مثل «راسل» وأوصاف مثل «مؤلف كتاب مبادئ الرياضيات» - لا يمكن أن ترد على نحو ملحوظ في القضايا (تحديدا: في الجمل التي تعبر عن قضايا) إلا إذا كان ما تدل عليه موجودا. وأخذ مينونج يدافع عن رأيه بقوله: فلنفترض أنك تقول «الجبل الذهبي ليس موجودا». من الواضح أنك تتحدث عن شيء - الجبل الذهبي - وأنت تؤكد على أنه غير موجود؛ وما دام ما تقوله له معنى، فلا بد أنه يوجد جبل ذهبي، بمعنى معين. وتقول نظريته إن كل شيء يمكن التحدث عنه - تسميته والإشارة إليه - لا بد أن يكون إما موجودا أو له «كينونة» من نوع ما حتى لو كانت تلك الكينونة لا تساوي الوجود، وإلا صار ما نقوله مجردا من المعنى.

تقبل راسل هذا الرأي في البداية، وطرحه فعلا في كتاب «مبادئ الرياضيات»؛ وهذا هو السبب - كما ذكرت آنفا - في أنه ذكر في هذا الكتاب اعتقاده بوجود - أو على الأقل بكينونة - «الأعداد والآلهة الإغريقية والكائنات الخرافية مثل وحش الكمير». ولكن سرعان ما أساءت عدم قابلية تصديق هذا الرأي إلى «رؤيته النابضة بالحياة للواقع» - على حد تعبيره - لأنه لم يحشد الكون بكيانات مجردة وأسطورية فقط، بل أيضا بأشياء مستحيلة مثل «المربع المستدير»، ولم يستطع راسل أن يقبل هذا.

Page inconnue