39

حتى عندما بدأت الثورة العلمية المشهورة في إنتاج كل أنواع النتائج التي تطلبت حساب الأعداد غير النسبية. ولم يحدث حتى أواخر القرن التاسع عشر، في واقع الأمر، ⋆

أن استطاع أي شخص ⋆

أن يتوصل إلى نظرية شديدة الدقة للأعداد غير النسبية أو حتى تعريف لها. وأفضل تعريف هو ما قدمه آر ديديكند، ⋆

بينما كانت المعالجة الأكثر شمولا لتمثيل الأعداد الحقيقية على خط الأعداد من نصيب جي كانتور.

الجزء 2(د) ⋆

جزء تكميلي لا يمكن تخطيه، ولكنه يتضمن معلومات إضافية بالأساس

يمكنك تخطي الصفحات القليلة التالية إن أردت، إلا أن علامة النجمة في الفقرة أعلاه تعني أن المادة التالية ليست صحيحة تمام الصحة من الناحية التاريخية. بعبارة أخرى: اقترب طالب يدعى يودوكسوس النيدوسي (408-354 قبل الميلاد)، وهو تلميذ من تلامذة أفلاطون، كثيرا من تقديم تعريف دقيق للأعداد غير النسبية، وهو التعريف الذي أدرجه إقليدس في الجزء الخامس من كتاب «الأصول» تحت عنوان «التعريف الخامس». يتضمن تعريف يودوكسوس تناسبات هندسية ونسبا، وهذا غير مستغرب؛ نظرا إلى أن الرياضيات لدى الإغريق قد تعاملت مع الأعداد غير النسبية في صورة تناسبات هندسية معينة لم يتسن التعبير عنها على صورة نسب. بعد انهيار «الأخوية الدينية الفيثاغورية»، أصبحت هذه المقادير غير القابلة للقياس في كل مكان تقريبا، كالحال مثلا إذا افترضنا أن لدينا مستطيلا فيه ضلعان يساوي طول كل منهما طول قطر مربع الوحدة: كيف يفترض أن تحسب مساحته؟ والأهم من ذلك كيف استطاع الإغريق تمييز حالات عدم القابلية للمقايسة من النوع المتعلق بالأعداد غير النسبية عن الحالات التي يكون لديك فيها ببساطة أنواع مختلفة من المقادير التي لا يمكن مقارنتها بالنسب، مثل خط في مقابل مساحة، أو مساحة في مقابل حجم شكل ثلاثي الأبعاد؟ كان يودوكسوس في الواقع هو أول إغريقي يحاول حتى تعريف «النسبة» رياضيا.

يقال إن المقادير متساوية في النسبة، الأول إلى الثاني والثالث إلى الرابع، إذا أخذت أي مضاعفات متساوية أيا كانت من الأول والثالث، وأي مضاعفات متساوية أيا كانت من الثاني والرابع، وظلت المضاعفات المتساوية الأولى أكبر من أو تساوي، أو أقل من، بالقدر نفسه، وعندئذ تؤخذ المضاعفات المتساوية اللاحقة بنسق مناظر.

وهو ما يمكن التقليل من غموضه بترجمة بعض من نصوص النظرية المكتوبة باللغة الطبيعية إلى رموز الرياضيات الأساسية. ينص تعريف يودوكسوس هنا على أنه: إذا كان ، ، والعددان الصحيحان

Unknown page