قد يبدو لأول وهلة أن الاختلاف الثالث تافه وبسيط، فهو يتعلق بالكلمات المتعلقة باللانهائية مثل «كمية»، و«عدد». ولهاتين الكلمتين دلالة مزدوجة غريبة ومحيرة، تماما كما في كلمات مثل «طول» أو «أوقية». فالجزء من الحبل له طول معين، ولكنه أحيانا ما يطلق عليه أيضا «طول من الحبل»، كما أن كمية معينة من الأدوية بوزن جرام واحد يمكن أن يطلق عليها أيضا «جرام من الأدوية». وبالطريقة نفسها، يمكن استخدام كلمتي «كمية» و«عدد» على نحو إسنادي؛ وذلك حين يأتيان كإجابة عن السؤال عن كمية شيء ما أو عدده، كما يمكن استخدامهما كاسمين عاديين يشيران إلى الشيء الموصوف. ومن ثم، قد يكون من غير الواضح عند استخدام مصطلح مثل «عدد لا نهائي» ما إذا كان يستخدم بطريقة إسنادية («يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية») أم كاسم («أول عدد لا نهائي (بمعنى غير منته) لدى كانتور هو ألفا الصفري »). والفرق بين الاستخدامين مهم؛ لأن استخدام اللانهائية إسناديا يمكن أن يكون ضبابيا وترجيحيا فيعني فقط «كبير بلا حدود» أو «كبير حقا»، في حين أن بعد ديديكند وكانتور أصبح للاستخدام الاسمي دلالة محددة للغاية ومجردة.

في نواح معينة، تكمن قوة لغة الرياضيات، وربما السبب الرئيسي لوجودها في أنها قد صممت بحيث تكون واضحة للغاية وغير ضمنية؛ حتى تتجنب التباسات كالمذكورة آنفا. فمحاولة كتابة كميات عددية وعلاقات باللغة الطبيعية - لترجمة فرضيات رياضية إلى الإنجليزية أو العكس - غالبا ما تتسبب في حدوث مشاكل.

20

ومن الأمثلة المفضلة التي قدمها د. جوريس حول هذا الموضوع المثال القديم لثلاثة رجال قرروا المبيت بأحد النزل في وقت متأخر من الليل. ولم تكن هناك سوى غرفة واحدة شاغرة، وسعرها 30 دولارا، فقرروا أن يقتسموها، ويدفع كل منهم 10 دولارات، ولكن عند دخولهم الغرفة وجدوا أنها في حالة فوضى مزرية؛ إذ من الواضح أن الغرفة كان بها مجموعة من الأشخاص ولم تنظف منذ مغادرة النزلاء السابقين، وبطبيعة الحال اتصل الرجال بالمدير للإدلاء بشكواهم. ثم ذكرت بعض التفاصيل السردية والتنميقات الأسلوبية التي يمكن حذفها. الفكرة هنا أن الوقت كان متأخرا، وخدمة تنظيف الغرف لهذا اليوم كانت قد انتهت منذ فترة طويلة، ولا توجد غرفة أخرى للانتقال إليها، ومن ثم بعد فترة من الشد والجذب المتبادل وافق المدير على خصم 5 دولارات من سعر الغرفة وتوفير أغطية نظيفة، وأرسل أحد العاملين إلى الغرفة بالأغطية والمناشف ومبلغ الخمسة دولارات المسترد في صورة خمس ورقات نقدية فئة دولار واحد. ومن ثم، أصبح الوضع كالآتي: هناك خمس ورقات نقدية فئة دولار واحد وثلاثة أفراد، وما فعله الأفراد الثلاثة (الذين كانوا مبتهجين على نحو غير مفهوم) هو أن كلا منهم استرد دولارا واحدا وسمحوا للعامل أن يحتفظ بالمبلغ المتبقي وهو دولاران على سبيل الإكرامية. وهكذا، دفع كل رجل في البداية 10 دولارات واسترد دولارا واحدا، أي إن كلا منهم دفع 9 دولارات، وبذلك يصبح إجمالي المبلغ 27 دولارا، بينما حصل العامل على الدولارين الآخرين، وهو ما يجعل المجموع الكلي 29 دولارا، ترى أين الدولار الآخر؟ تكمن الفكرة في مثل هذه المسائل في الإسهاب أو الحشو (الذي كان هناك الكثير منه في رواية د. جوريس، حيث أمضى سنة كاملة في الاستشهاد بقصة هؤلاء الرجال الثلاثة وطرق تعاملهم والصعاب المختلفة وألغاز الرياضيات التي دائما ما يتعثرون فيها) الذي يقودك إلى محاولة مشوشة لحساب

بدلا من العكس ، وهو ما ينتج عنه مزيد من الارتباك والابتهاج والمبلغ الإضافي المحتمل.

توجد مثل هذه الجمل اللغوية البينية المحيرة بجميع أنواعها. الجمل التي يستعصي حلها تصير مفارقات وتناقضات فعلية، بعضها يكون عويصا ومتعمقا. ولا غرو بطبيعة الحال أنه بما أن اللانهائية هي أقصى مستويات التجريد، والغموض مترسخ فيها، فإنها تظهر في الكثير من مثل هذه المفارقات أو التناقضات. لتأخذ، على سبيل المثال، فكرة أنه لا يوجد عدد صحيح أخير أو أكبر، وفكرة أن الزمن يمضي للأمام إلى ما لا نهاية. بعد ذلك، تخيل مصباح مكتب، مركبا جيدا ومشحونا، وله مفتاح أحمر كبير للتشغيل وإيقاف التشغيل، وتخيل أن المصباح لم يكن مضاء هذا الصباح ولكنه سوف يضاء عند الساعة الرابعة والنصف عصرا بالتوقيت المركزي القياسي سوف يضاء، ثم في الساعة الرابعة والنصف عصر الغد سوف يطفأ من جديد، ولكنه سوف يضاء مرة أخرى في الساعة الرابعة والنصف عصر اليوم التالي، ويستمر الحال هكذا كل يوم حتى آخر الزمان. والآن، لك أن تتساءل: هل المصباح سوف يكون مضاء أو غير مضاء بعد عدد لا نهائي من الأيام؟ لعلك تذكر من مقرر الرياضيات الجامعي

21

أن هذه في الواقع مسألة كلامية تتضمن ما يسمى متسلسلة غير منتهية متباعدة، أو بشكل أدق متسلسلة جراندي، ، وهي متسلسلة مجموعها يساوي صفرا إذا نحن جمعناها على الصورة

في حين أن مجموعها يصبح

إذا نحن جمعناها على الصورة ، وبما أن كلتا العمليتين الحسابيتين صحيحتان رياضيا، فإن المجموع «الحقيقي» للمتسلسلة هو

Unknown page