وبطلميوس يبين النسب في أوتار أضعاف القسي في كل موضع لكن لما كانت النسب في الأضعاف والأنصاف واحدة استعمل المحدثون الجيوب تخفيفا فلنخرج لبيان ما أدعيناه عمودي @NUM@ ا ز @NUM@ ج ح على @NUM@ ب د ومحدث مثلثا @NUM@ ا ز ه @NUM@ ج ح ه المتشابهين لتساوي متقابلتي @NUM@ ه وقائمتي @NUM@ ز @NUM@ ح فتكون النسبة على ما دمرناه وأيضا إذا كانت قوس @NUM@ ا ج ز نسبة جيب @NUM@ ا ب إلى جيب @NUM@ ب ح معلومتين كانت كل واحدة من قوسي @NUM@ ا ب @NUM@ ب ج معلومة و @NUM@ ا با (¬62) أقدم قبل بيان ذلك أحكام المثلثات المستقيمة الخطوط فإنها كثيرة الغناء في هذا الكتاب فأقول مقدار الزاوية المستقيمة الخطين هو مقدار القوس التي بوترها عند وقوعها على محيط دائرة أو مركزها فإذا أحاطت دائرة بمثلث كان المحيط موزعا على زواياه وإذا أعرفت مقادير القسي صارت مقادير الزوايا ونسب بعضها إلى بعض معلومة وصارت نسب الأضلاع بعضها إلى بعض نسب أوتار القسي أيضا معلومة وكان مقدار الزاوية القائمة نصف الدور أما إذا وقعت الزوايا على المركز صارت مقاديرها أنصاف ما كانت على المحيط لأن الزوايا تتناسب تناسب القسي فكما كانت المركزية ضعف المحيطية عند تساوي قوسيهما يكون (¬63) قوس المحيطية ضعف قوس المركزية عند تساويهما A والأضلاع الموترة لها تتناسب تناسب جيوبها أعني في مثلث @NUM@ ا ب ج مثال نسبة @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ا ج كنسبة جيب زاوية @NUM@ ج إلى جيب زاوية @NUM@ ب برهانه نخرج الأضلاع المحيطة بزاويتي @NUM@ ج @NUM@ ب ونجعل @NUM@ ج د @NUM@ ج ه @NUM@ ب ح @NUM@ ب ط متساوية وندير على مركزي @NUM@ ج @NUM@ ب بهذه الأبعاد قوسي @NUM@ د ه @NUM@ ح ط ونخرج عمودي @NUM@ ه ز @NUM@ ط ك على @NUM@ د ح فيهما جيبا زاويتي @NUM@ ج @NUM@ ب ونخرج عمود @NUM@ ا ل على @NUM@ ب ج فليشابه مثلثي @NUM@ ا ل ج @NUM@ ه ز ج نسبة @NUM@ ه ز إلى @NUM@ ا ل كنسبة @NUM@ ه ح إلى @NUM@ ا ج وليشابه مثلثي @NUM@ ا ل ب @NUM@ ط ك ب نسبة @NUM@ ا ل إلى @NUM@ ط ك كنسبة @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ط ب أعني @NUM@ ه ج فبالمساواة المضطرية نسبة @NUM@ ه ز إلى @NUM@ ط ك الجيبين كنسبة @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ا ج الضلعين وإذا يتبين ذلك فالمعلوم في المثلث القائم الزاوية إن كان ضلعين أو ضلعا وزاوية غير القائمة كان باقي الأضلاع والزوايا معلومة لأن القائمة معلومة والباقية هي تمام المعلومة من الربع والأضلاع على نسب جيوب الزوايا إما إن كان زاوية فقط كانت الزوايا ونسب الأضلاع معلومة دون مقاديرها وإن كان ضلعا فقط لم نعد شيئا وفي غير القائم الزاوية إن كان المعلوم جميع الأضلاع أو ضلعين وزاوية كانت الباقية معلومة بإخراج عمود يجعل المثلث مثلثين قائمي زاويتين وإن كان ضلعين وزاويتين كانت الباقية معلومة من غير إخراج العمود لأن الزاوية الباقية هي تمام المعلومتين إلى نصف الدور والأضلاع على نسبها وإن كان جميع الزوايا فلا يعلم بها إلا نسب الأضلاع وإن كان أقل من ذلك فلا يفيد شيئا ونعود إلى الكتاب

ونعيد الشكل العاشر ونصل نصف قطر @NUM@ ا د ونخرج عمود @NUM@ د ز إلى @NUM@ ا ج ونقول † لما † كانت † قوس † @NUM@ ا ج معلومة كان @NUM@ ا ز † جيب نصفها و @NUM@ د ز † جيب تمام نصفها وزاوية @NUM@ ز د ا معلومة فمثلث @NUM@ ا د ز القائم الزاوية معلوم بأيسره ولما كان @NUM@ ا ج معلوما † ونسبة † @NUM@ ا ه إلى @NUM@ ه ج معلومة كان كل واحد من @NUM@ ا ه @NUM@ ه ج بالانفراد معلوما فإذا مثلث † @NUM@ ه † @NUM@ د ز من ضلعي @NUM@ ه ز @NUM@ ز د المعلومين معلوم بأيسره فزاوية @NUM@ ا د ب وهي مقدار قوس @NUM@ ا ب معلومة وقوس @NUM@ ب ج الباقية أيضا معلومة

صفحة ١٠