الذي عرفه إقليدس، هي دائرة كبيرة (وكما أن الخط المستقيم هو أقصر مسافة بين نقطتين على سطح واحد، فكذلك الحال في الكرة، حيث يكون الجزء من الدائرة المحصورة بين نقطتين هو أقصر مسافة بين هاتين النقطتين)، وواضح أن «المستقيم» عند ريمان (أعني الدائرة الكبيرة) لا يمكن أن يكون له خط مواز (أي دائرة كبيرة أخرى) من نقطة على «السطح» (الكرة) خارجة عن هذا المستقيم، وفي هندسة ريمان يكون مجموع زوايا المثلث أكبر من قائمتين (إذ إن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر بكثير من قائمتين). (18) هل تتعارض مصادرة لوباتشفسكي مع الحدس؟
في هذه الإشارة إلى هندسة السطح الكروي نرى دعامة «لأنموذج» هندسة لا إقليدية في نظر الحدس. على أن معارضة الحدس الشائع قد تكون أعظم في بعض الأحيان، فكثيرا ما يسيء المرء تصور التعارض مع تجربة شائعة، ومع حدس معتاد.
ومع ذلك فيبدو من الممكن تبرير المصادرات الجديدة على أساس الحدس، وسنقدم فيما يلي تخطيطا سريعا لهذا العمل الذي يقوم به الحدس بالنسبة إلى مصادرة لوباتشفسكي القائلة إن من الممكن أن يمد من نقطة خارج مستقيم مستقيمان موازيان لهذا المستقيم.
فكيف يحاول المعلم، في مرحلة تعليمية مبكرة، أن يقدم فكرة الموازي؟ نفرض نقطة م خارج المستقيم س ص، ونمد منها قاطعا قابل س ص في أ، ونتصور أننا نغير موضع هذا القاطع في نقطة أ، أ، أ ... وهي نقط تتباعد إلى اليسار بالتدريج، ثم نقول إنه في النهاية، عندما تبعد النقطة أ، إلى ما لا نهاية، يصبح القاطع موازيا للمستقيم س ص.
وغني عن البيان أننا لو كنا قد تناولنا القاطع م ب، ومجموعة من النقط ب، ب متباعدة نحو اليمين، لأصبح لدينا خط مواز في النهاية عندما تبعد النقطة ب إلى ما لا نهاية في جهة اليمين.
وإليك الآن ما اختاره إقليدس وما اختاره لوباتشفسكي، ففي رأي إقليدس أن الموازي المكون من نهاية القواطع على اليمين والموازي المكون من نهاية القواطع على اليسار، هو مواز واحد. أما لوباتشفسكي، فيرى أن هذين المستقيمين النهائيين هما موازيان يظلان متميزين في النهاية، كما تميز مجموع القواطع اليمنى من مجموع القواطع اليسرى.
وبالاختصار فإن إقليدس يفترض فرضا زائدا على لوباتشفسكي، وفي نهاية الأمر يتضح أن حدس لوباتشفسكي كان هو الأكثر حرصا، وهو الذي يضيف إلى الحدس الأصلي أقل إضافة ممكنة. وهكذا، فمتى أقلعنا عن الخلط بين الحدس وبين إحدى العادات، ومتى تركنا للعقل حريته التامة في الحدس، فلن نستطيع القول إن مصادرة لوباتشفسكي أقل اتفاقا مع طبيعتنا من مصادرة إقليدس. (19) تعدد الهندسات
وهناك دوافع أخرى متعددة للإكثار من الهندسات، ولكن قد يسيء المرء فهم الازدهار الحالي في المذاهب الهندسية، إذا أغفل ما يتصف به التفكير الهندسي من وحدة وثيقة.
فالهندسات التي تتباين فيما بينها تباينا هائلا، يمكن أن تتلاقى معا على نحو ما، وأن تتحد في مجموعة محكمة متسقة من المذاهب. ولكي نعطي فكرة عن هذا التنظيم المتسق للهندسيات، نعلق على لوحة ظهرت في الكتاب القيم الذي ألفه لوسيان جودو
Lucien Godeaux .
صفحة غير معروفة