هذا، وسنعود مرة أخرى، في هذا الفصل ذاته، إلى العلاقات بين الدقة والحدس، وسنحاول، بعد الدراسة الطويلة التي قمنا بها للمبادئ الأساسية في النظريات الرياضية، أن نحدد خصائص الاستدلال الرياضي من خلال مجموعة من عملياته تتسم بأكبر قدر من البساطة.
ثانيا: الاستدلال الرياضي (9) خصوبة الاستدلال الرياضي ودقته
الرياضيات كما قلنا من قبل تركيبات فرضية استنباطية يؤدي فيها الاستنباط دورا رئيسيا، وكثيرا ما يوصف الاستنباط بأنه عملية تحليلية تنتقل من العام إلى الخاص، ويتخذ القياس (
Syllogisme ) أوضح أنموذج للاستدلال الاستنباطي. فإذا ما قبلنا أوجه النقد التي وجهت إلى الاستدلال القياسي، أمكننا القول بأن نتيجة البرهان في الاستنباط، إن هي إلا نتيجة سبق أن احتوت عليها المقدمات. وهكذا يكون الاستنباط عملية استدلالية دقيقة، ولكنها عقيمة. وعلى العكس من ذلك يبدو أن الاستقراء هو الطريق الوحيد الذي يتبعه التفكير المنتج حقيقة؛ إذ هو امتداد للمعرفة وتعميم لها، وإن كان لا يزعم لنفسه ما للاستنباط من دقة مطلقة؛ فلنضع المشكلة أولا في هذه الصورة العامة جدا، لكي نفهم الجدل المشهور الذي نشب في مستهل القرن العشرين بين الرياضي بوانكاريه، والفيلسوف جوبلو، حول طبيعة الاستدلال الرياضي .
ففي مستهل هذا القرن، قال «بوانكاريه» في كتابه «العلم والفرض» (ص4) «ما طبيعة الاستدلال الرياضي؟ أهو حقا استنباطي كما يعتقد عادة؟ إن المقارنة العميقة تبين لنا أن الأمر بخلاف ذلك، وأنه يشارك بقدر معين في طبيعة الاستدلال الاستقرائي، وهذا هو السبب في أنه منتج. ومع ذلك، فإنه لا يفقد شيئا من طابع الدقة المطلقة.»
فكيف نفسر جمع الاستدلال الرياضي بين صفة الخصوبة، وصفة الدقة في آن واحد؟ (10) الاستدلال الترديدي.
9
فكرة التعميم
يأخذ بوانكاريه على عاتقه أن يثبت أن الاستدلال الرياضي لا يمكن إرجاعه إلى القياس «الذي لا يأتي إلينا بجديد.» وإنما هو في أساسه «تعميمي؛ مما يفسر طابع الخصوبة الذي لا سبيل إلى إنكاره في العلوم الرياضية.» ويكشف بوانكاريه عن هذا التعميم في صورة من صور الاستدلال الدقيق تتميز بها الروح الرياضية. هي الاستدلال الترديدي
raisonnement par recurrence ، وسوف نبين عن طريق مثال، كيف ينمو هذا النوع من الاستدلال؛ فلنقترح مسألة في حاجة إلى حل، هي إثبات عدم تساوي الطرفين الآتيين: (1) (1 + 1) ن >
صفحة غير معروفة