ولكن لا يمكن معرفة العد معرفة صحيحة، إلا إذا استطاع المرء الوصول إلى التناظر بين الأشياء وأسماء الأعداد، ثم إلى المعنى المجرد للعدد، وسرعان ما تتكون في الذهن فكرة السلسلة غير المحددة من الأعداد الصحيحة، ويفهم المرء كيف يستعمل النظام الرقمي دون أن يقف عند حد، عندما يدرك أن عملية الوصول إلى الرقم التالي لعدد معين بإضافة واحد، يمكن أن تستمر على ما هي عليه، إلى ما لا نهاية. لهذا يمكن القول إن السلسلة غير المتناهية للأعداد الصحيحة الموجبة تتبدى لدينا في حدس بسيط. (22) الأعداد السالبة والأعداد الكسرية
لنفحص سلسلة غير محددة من الأعداد الصحيحة الموجبة 1، 2، -ن فإذا أخذنا أي اثنين من هذه الأعداد، أمكننا دائما أن نجمعهما فتكون النتيجة التي نحصل عليها هي دائما عدد في السلسلة م. ولكنا إذا نظرنا إلى حالة الطرح، وجدنا أن هناك حالات لا يعود فيها الطرح ممكنا. لهذا أدت الرغبة في المضي في عملية الطرح دون أي عائق، إلى وضع مفهوم الأعداد السالبة، وبالتالي إلى زيادة سلسلة الأعداد عن طريق الأعداد السالبة، كما أدت استحالة إجراء عملية القسمة دون باق بين الأعداد الصحيحة في حالات معينة، إلى التوسع في فكرة العدد، عن طريق خلق الأعداد الكسرية، وكما يقول الرياضي بول ديبرل
في بحثه عن الجبر «إن لمشاكل الامتداد التي تثار عن طريق مجرد تحليل لفكرة العملية، أهمية قصوى.»
22 (23) الأعداد الجذرية
rationnels
والأعداد الصماء
irrationnels
فلنفحص الآن امتدادات العدد كما تظهر عندما نستخدم العدد للتعبير عن نتائج القياس
mesure
فقياس بعد معين (وليكن قياسه، على بعد آخر يتخذ وحدة. وعندما حاول الفيثاغوريون قياس طول المربع، متخذين وحدة القياس من طول نحصل عليه بتقسيم ضلع المربع أقساما متساوية، أدركوا أن القياس في هذه الحالة لا يمكن أن يتم «بدقة» وكذا تبين أنه لا يوجد قياس مشترك بين طول الضلع وطول القطر ... فلم يكن من الممكن الاهتداء إلى «مقياس مشترك
صفحة غير معروفة