فأقول: إن المركب من جملتها وهو از مساو للذى يكون من ضرب الأوسط وهو جد فى عدد اب بﺟ جد ده هز الذى هو خمسة برهان ذلك: من أجل أن مقادير اب بﺟ جد ده هز زيادة بعضها على بعض متساوية وعدد اب بﺟ جد مساو لعدد جد ده هز، فإن فى نسبة المساواة تكون زيادة اب على جد مثل زيادة جد على هز. فإذن اب هز هما إذا جمعا مثل جد إذا ضرب فى عدد اب هز الذى هو اثنان. ولذلك يكون بﺟ ده إذا جمعا مثل جد إذا ضرب فى عدد بﺟ ده الذى هو اثنان أيضا. فإذن اب هز وبﺟ ده مثل جد إذا ضوعف بعددها الذى هو أربعة. فإذن إذا زيد فى تضعيفه بعددها واحد لنفسه حتى يكون قد ضوعف بعدد جميعها كان المجتمع من ذلك مساويا لجميع از. فقد تبين أن تضعيف الأوسط بعدة المقادير مساو للمركب من جملتها، وذلك ما أردنا أن نبين

[chapter 3]

ﺟ إذا كانت مقادير كم كانت عددها زوج وزيادة بعضها على بعض متساوية وكانت متتالية وأولها أعظمها فإن المركب من جميعها هو مثل الذى يكون من تضعيف اثنين مزدوجين منها بنصف جملة عددها. وأعنى باثنين مزدوجين منها الطرفين 〈ثم اللذين يليان الطرفين〉 فى الجهتين جميعا ثم اللذين يليان ذينك إلى أن ينهيا إلى الأوسطين

مثال ذلك أن نفرض مقادير كم كانت وهى اب بﺟ جد ده هز زح زيادة بعضها على بعض متساوية وعددها زوج وهى متتالية وأولها أعظمها وهو اب

فأقول: إن المركب من جميعها وهو اح مثل الذى يكون من تضعيف اثنين مزدوجين منها فى نصف جملة عددها

برهان ذلك : من أجل أن زيادة اب على بﺟ مثل زيادة هز على ز ح فإن جميع اب زح مساو لجميع بﺟ هز، ولذلك يكون أيضا جميع بﺟ هز مساويا لجميع جد ده فإذن جميع اح من أضعاف اب زح وبﺟ هز وجد ده مثل عدد اب بﺟ جد، أعنى مثل عدد نصف المقادير. فقد تبين أن اح المركب من جميع المقادير مثل الذى يكون من تضعيف كل مزدوجين منها بنصف عددها، وذلك ما أردنا أن نبين

[chapter 4]

د إن فلك البروج إذا كان منقسما بثلثمائة وستين قوسا متساوية فإنا نسمى كل قوس من هذه القسى جزءا مكانيا. وأيضا إذا كان فلك البروح يطلع كله، أعنى من أى نقطة فرضت عليه إلى أن ترجع تلك النقطة إلى مطلعها فى ثلثمائة وستين زمانا متساويا، فإنا نسمى كل واحد من تلك الأزمان جزءا زمانيا

صفحة ٧١