إن خريطة الخيمة ذات التضعيف الثلاثي فوضوية، وهي حتمية بوضوح، تتكرر المسارات محل الاهتمام فيها، ويزداد التباعد بين النقاط القريبة اللامتناهية الصغر بعامل ثلاثة عند كل تكرار، وهو ما يشير ضمنا إلى وجود الاعتماد الحساس. يوضح الشكل رقم
5-2
سلسلة زمنية من خريطة الخيمة ذات التضعيف الثلاثي، فضلا عن سلسلة زمنية مستقاة من خريطة نظام الدوال المتكررة للأثلاث الوسطى التصادفية. بشكل مرئي، نرصد إشارات على سهولة توقع الخريطة الفوضوية. تتبع قيم
X
الصغيرة «دوما» قيم
X
صغيرة. يظهر كل مستطيل من المستطيلين الصغيرين أسفل الشكل
5-2
مجموعة من النقاط يمر خلالها مسار طويل من أحد النظامين. تبدو مجموعتا النقاط متشابهتين جدا، وفي حقيقة الأمر تعبر كلتاهما عن نقاط من مجموعة خريطة كانتور للأثلاث الوسطى. تمر مجموعتا النقاط الديناميكيتان كلتاهما عبر مجموعة الأشكال الكسرية نفسها؛ ومن ثم لا يمكننا التمييز أبدا بين النظام الحتمي والنظام التصادفي إذا نظرنا فقط إلى بعد مجموعة النقاط التي يمر بها كل نظام. ولكن أيكون من قبيل المفاجأة أن فهم ديناميكيات النظم يستوجب علينا معرفة طريقة تحرك النظام، وليس فقط موضعه السابق؟ يقضي هذا المثال المضاد على الخرافة المشار إليها آنفا؛ فبينما قد تمر النظم الفوضوية عادة عبر مجموعات كسرية، لا يشير اكتشاف مجموعة محددة الأبعاد إلى حتمية أو فوضوية في ديناميكيات النظم بالضرورة.
لا يعتبر اكتشاف أشكال كسرية في الخرائط الرياضية الموضوعة بدقة أمرا مدهشا؛ حيث إن علماء الرياضيات يمتلكون ما يكفي من المهارة لوضع خرائط تولد أشكالا كسرية. أحد أكثر الأشياء حذقا في نظم الفوضى المشتتة هو أن الأشكال الكسرية تتبدى دون ميزة التصميم الذكي، وتعد خريطة إينو مثالا كلاسيكيا على ذلك. من الناحية الرياضية، تمثل خريطة إينو فئة كاملة من النماذج الشائقة؛ إذ لا يوجد شيء «يبدو كسريا» في الخريطة على وجه الخصوص، بخلاف ما هو موجود في خريطة نظام الدوال المتكررة للأثلاث الوسطى. يبين الشكل رقم
صفحة غير معروفة