الشاب المتأنق أناقة لا تشوبها شائبة إلى اليمين مستغرق في إجراء عمليات حسابية دقيقة، لا شك أنها عمليات تنطوي على توقع احتمالي من نوع ما. ويمتلك الشاب حاليا مجموعة كبيرة من العملات الذهبية على المائدة. تلعب موزعة الأوراق دورا محوريا؛ فبدونها لا يمكن اللعب، فهي تزودهم باللغة التي يتواصلون بها، بيد أنه يبدو أن ثمة تواصلا غير لفظي بينها وبين الخادمة. ودور الخادمة أقل وضوحا، ربما يكون هامشيا، غير أن تقديم الخمر سيؤثر على مجريات اللعب، وربما هي نفسها تعتبر مصدر تشويش. تبدو شخصية المحتال الذي يرتدي زيا مفككا حل شرائطه مهتما لا شك بالعالم الواقعي، وليس مجرد المظاهر بشكل من أشكالها. تلتقط يده اليسرى إحدى أوراق الآس الديناري العديدة التي دسها في حزامه، وهي الورقة التي كان على وشك أن يضعها على مائدة اللعب. ما هي إذن قيمة «الاحتمالات» التي يحسبها الشاب، إذا كان لا يلعب - في حقيقة الأمر - اللعبة التي يفسرها نموذجه الرياضي؟ وإلى أي مدى يصل عمق استبصار هذا الشخص المحتال؟ نظرته موجهة إلينا، وهي تشير إلى معرفته بقدرتنا على رؤية أفعاله، ربما حتى يدرك وجوده في اللوحة.

إن قصة الفوضى مهمة لأنها تمكننا من رؤية العالم من منظور كل لاعب من هؤلاء اللاعبين، فهل ما نفعله هو مجرد صياغة لغة رياضية تجري اللعبة بها؟ هل نخاطر بخسارة اقتصادية من خلال المبالغة في تفسير نموذج ربما يكون مفيدا، بينما يغيب عن ناظرينا حقيقة أن النموذج - مثل جميع النماذج - غير كامل؟ هل نرصد فقط الصورة الكبيرة دون المشاركة في اللعبة، مقدمين في بعض الأحيان تشويشا مثيرا؟ أم إننا نتلاعب بتلك الأشياء التي نستطيع تغييرها، مقرين بمخاطر عدم كفاية النموذج، وربما أيضا بمناحي قصورنا، نظرا لوجودنا داخل النظام؟ للإجابة عن هذه الأسئلة، يجب أولا أن نتفحص العديد من المصطلحات الخاصة الكثيرة في العلم حتى نتمكن من إدراك كيفية ظهور الفوضى من بين التشويش الذي تتعرض له الإحصاءات الخطية التقليدية سعيا وراء أدوار في فهم وتوقع نظم العالم الواقعي المعقدة. قبل إدراك الديناميكيات اللاخطية للفوضى على نطاق واسع في العلوم، كانت هذه الأسئلة تقع أساسا في مجال الفلاسفة. أما حاليا، فتمتد هذه الأسئلة عبر نماذجنا الرياضية إلى مجال علماء العلوم الطبيعة واختصاصيي التوقعات، وهو ما يغير إحصائيات دعم اتخاذ القرار، بل يؤثر حتى على الساسة وصانعي السياسات أيضا.

الفصل الثاني

النمو الأسي واللاخطية والتفكير المنطقي

إحدى أكثر الخرافات شيوعا حول النظم الفوضوية هي استحالة توقعها. وللكشف عن المغالطة في هذه الخرافة، يجب أن نفهم كيف يزداد عدم اليقين في توقع ما في الوقت الذي يزداد فيه توقعنا للمستقبل تدريجيا. سنتناول في هذا الفصل أصل «النمو الأسي» ومعناه؛ إذ إن في المتوسط ستزيد نسبة ضئيلة من عدم اليقين زيادة أسية سريعة في نظام فوضوي؛ فثمة معنى ما في أن هذه الظاهرة تنطوي حقيقة على نمو «أسرع» لعدم اليقين مما يوجد في أفكارنا التقليدية حول طريقة نمو الخطأ وعدم اليقين، حال زيادة توقعنا للمستقبل تدريجيا. وبالرغم من ذلك، يمكن توقع الفوضى بسهولة في بعض الأحيان.

الشطرنج والأرز وأرانب ليوناردو: النمو الأسي

ثمة قصة تروى كثيرا حول أصل لعبة الشطرنج توضح على نحو رائع سرعة النمو الأسي. تحكي القصة أن أحد ملوك فارس القديمة شعر بسرور بالغ عندما أهديت إليه اللعبة للمرة الأولى، حتى إنه أراد أن يكافئ مبتكر اللعبة، سيسا بن ظاهر. من المعروف أن لوحة لعبة الشطرنج تتضمن 64 مربعا مصفوفة في صورة 8 × 8 مربعات. فطلب ابن ظاهر - كمكافأة له - ما بدا كأنه كمية متواضعة للغاية من الأرز يجري تحديدها باستخدام لوحة الشطرنج الجديدة؛ إذ طلب أن توضع حبة أرز واحدة في المربع الأول من اللوحة، وحبتان في المربع الثاني، وأربع في المربع الثالث، وثماني حبات في المربع الرابع، وهكذا بمضاعفة عدد الحبات في كل مربع حتى بلوغ المربع الرابع والستين. غالبا سيطلق الرياضي على أي قاعدة لتوليد رقم من خلال رقم آخر «خريطة» رياضية؛ لذا سنشير إلى هذه القاعدة البسيطة (ضاعف القيمة الحالية لتوليد القيمة التالية) باسم «خريطة الأرز».

قبل حساب كمية الأرز التي طلبها ابن ظاهر، لننظر في حالة النمو الخطي التي توجد فيها حبة أرز واحدة في المربع الأول، وحبتان في المربع الثاني، وثلاث حبات في المربع الثالث، وهكذا حتى نحتاج 64 حبة في المربع الأخير، وفي هذه الحالة، سيكون لدينا إجمالي قدره: 64 + 63 + 62 + ... + 3 + 2 + 1، أو حوالي 1000 حبة. وللمقارنة فقط، يحتوي كيس به كيلوجرام واحد من الأرز على بضع عشرات الآلاف من حبوب الأرز.

تتطلب خريطة الأرز حبة واحدة في المربع الأول، ثم حبتين في المربع الثاني، وأربعا في الثالث، ثم 8، 16، 32، 64، 128 في المربع الأخير في الصف الأول، وفي المربع الثالث في الصف الثاني سنتخطى 1000 حبة، وقبل نهاية الصف الثاني سيوجد مربع تستنفد فيه كمية الأرز في الكيس. وسيتطلب ملء المربع التالي وحده كيسا كاملا آخر، ثم كيسين في المربع التالي، وهكذا. وسيتطلب أحد المربعات في الصف الثالث كمية من الأرز تكافئ حجم بيت صغير، وستتوفر لدينا كمية من الأرز تكفي لملء قاعة ألبرت الملكية قبل نهاية الصف الخامس. وأخيرا، سيتطلب المربع الرابع والستون بمفرده مليارات ومليارات من حبات الأرز، أو للدقة، 2

63 (أي: 9223372036854775808) حبات، بإجمالي عدد حبات 18446744073709551615. هذه ليست كمية بسيطة من الأرز! تساوي هذه الكمية تقريبا إنتاج العالم بأسره من الأرز خلال ألفيتين. يزداد النمو الأسي سريعا بما يتجاوز أي تناسب.

صفحة غير معروفة