إلى نصفين. وبما أن ذلك صحيح في كل خطوة، يصح الأمر أيضا في المتوسط. متوسط زمن تضاعف عدم اليقين هو تكرار واحد، وتتضمن خريطة الخباز أس ليابونوف واحدا يساوي وحدة بيانات واحدة عند كل تكرار، وأسا واحدا يساوي وحدة بيانات تساوي سالب واحد عند كل تكرار.
شكل 6-1: رسم تخطيطي يوضح طريقة تطور النقاط في المربع للأمام عند تكرار واحد في خريطة الخباز (إلى اليسار)، وخريطة الخباز المتمرن (إلى اليمين).
يتماثل أس ليابونوف الموجب مع عدم يقين متزايد، بينما يتماثل أس ليابونوف السالب مع عدم يقين متناقص. لكل حالة من الحالات ثمة اتجاه يرتبط بكل من هذين الأسين؛ وفي هذه الحالة الخاصة على وجه التحديد تتطابق هذه الاتجاهات بالنسبة إلى جميع الحالات؛ ومن ثم لا تخلط بين حالات عدم اليقين في
x
مع حالات عدم اليقين في
y . وقد وضعت خريطة الخباز في ذاتها بعناية لتفادي الصعوبات من جراء عدم اليقين في إحدى المركبات، وهو الأمر الذي يسهم في عدم اليقين في مركبة أخرى. «تقريبا كل» الخرائط الثنائية البعد تختلط فيها حالات عدم اليقين هذه؛ لذا لا يمكننا عادة حساب أي آساس ليابونوف موجبة على الإطلاق!
شكل 6-2: مجموعة من الحالات الأولية تتخذ شكل الفأر (الصورة العلوية)، وأربعة إطارات تبين بالتوازي تطور هذه المجموعة تحت خريطة الخباز (إلى اليسار)، وخريطة الخباز المتمرن الرابعة (إلى اليمين).
ربما نستطيع أن ندرك سبب اعتقاد بعضنا أن توقع الفوضى مسألة خاسرة بالنظر إلى الأشكال الموجودة على اليسار في الشكل رقم
6-2
الذي يبين تطور مجموعة تتخذ هيئة فأر عبر عدة تكرارات للخريطة، ولكن تذكر أن هذه الخريطة حالة خاصة جدا؛ فالخباز الافتراضي ماهر جدا في عملية العجن، ويستطيع مط العجين بانتظام بعامل اثنين في المحور الأفقي، بحيث يتقلص بعامل اثنين في المحور الرأسي، قبل أن يعود إلى المربع في نظام الإحداثيات. تفيد مقارنة خريطة الخباز مع خرائط متنوعة من عائلة خرائط الخباز المتمرن؛ فالخباز المتمرن أقل انتظاما؛ حيث يمط جزءا صغيرا من العجين على الجانب الأيمن من المربع كثيرا، بينما لا يكاد يمط معظم العجين إلى اليسار على الإطلاق، كما يتضح في الشكل رقم
صفحة غير معروفة