وواضح أننا إذ نعرف العدد بأنه فئة من فئات، فالعدد «صفر» هو رمز لمجموعة الفئات الفارغة، والعدد «1» رمز لمجموعة الفئات ذوات العضو الواحد، والعدد «2» رمز لمجموعة الفئات ذوات العضوين كالأزواج، والعدد «3» هو رمز لمجموعة الثالوثات وهلم جرا، أقول إننا إذ نعرف العدد بأنه فئة من فئات، فإننا بذلك نكون قد حللنا هذا المدرك الرياضي الأساسي إلى مدركات ليست من الرياضة، بل هي مدركات من علم آخر هو المنطق؛ لأن «فئة» مدرك من مدركات المنطق لا الرياضة.
هذا هو المقصود حين نقول إن المناطقة الرياضيين المحدثين يحاولون رد الرياضة إلى منطق، أي إنهم يحاولون تحليل المدركات الرياضية إلى مدركات منطقية، فليس المقصود بقولنا إن المناطقة المحدثين يحاولون أن يبينوا أن الرياضة استمرار للمنطق، ليس المقصود بهذا أننا داخل حدود الرياضة نستخدم مبادئ المنطق في استدلال نظرية من نظرية، أو معادلة من معادلة، مع بقاء الرياضة علما قائما بذاته مستندا إلى مصطلحات خاصة به تكون منه بمثابة نقطة الابتداء، ولا تكون قابلة للتعريف أو التحليل؛ لأنه إذا كان هذا هو المقصود كان المراد هو أن الرياضة مثل من أمثلة كثيرة يمكن فيها تطبيق المبادئ المنطقية في عمليات الاستدلال، لكن المعنى المقصود بقولنا إن الرياضة استمرار للمنطق هو أننا نريد أن نبين إمكان تحويلها إلى بناء منطقي خالص كأي جزء آخر من أجزاء المنطق الخالص؛ وذلك بأن نبين إمكان استغنائنا عن المصطلحات الرياضية، وحلها إلى مدركات منطقية.
29 ،
30 •••
كان حديثنا فيما مضى يتناول الأعداد النهائية المحددة المعلومة القيمة، وها نحن أولاء نتناول الآن نوعا آخر من الأعداد، هو العدد اللانهائي؛ لنرى ماذا يكون من أمره في ضوء التحليل الحديث.
ومشكلة اللانهاية قد تعد المشكلة الرئيسية في الفلسفة الرياضية؛
31
ذلك أن الفئة من الأشياء حين تكون نهائية - أي ذات عدد محدد - كان أي جزء منها أقل عددا من عدد الفئة في مجموعها، وأما الفئة اللانهائية - كمجموعة النقط في الخط المستقيم - فلا يكون الأمر فيها كذلك؛ لأن أي جزء من الخط فيه من النقط عدد يساوي عدد النقط في مجموعة الخط كله؛ لأن عدد النقط في كل من الحالتين لا نهائي، واللانهائي بالطبع متساو في جميع حالاته، فمتى تكون الفئة لا نهائية؟
افرض أن «ف» رمز لفئة ما لا نهائية، وأن «ف » رمز لفئة أخرى لا نهائية تكونت بحذف أحد حدود «ف»، وليكن هذا الحد المحذوف هو «س»، فعندئذ قد يحدث أو لا يحدث أن تكون الفئة الجديدة «ف » شبيهة بالفئة الأصلية «ف»، فمثلا إذا كانت «ف» هي فئة الأعداد النهائية
32
صفحة غير معروفة