ليسا متطابقين، وحيث - في حالة وجود أي فرد آخر في الفئة يسمى - يصبح
متطابقا مع أي من
أو . ويصاغ التعريف العام للعدد من حيث مجموعات من الفئات المتشابهة، حيث يكون التشابه مفهوما دقيقا يدل على رابطة بين شيئين؛ حيث تصبح الفئتان متشابهتين إذا أمكن تحديد علاقة فردية تجمع بين أفرادهما.
وفي ظل تطبيق هذه المفاهيم، يتسنى حل مجموعة كبيرة من المشكلات، ومن بينها: كيفية تعريف العددين صفر و1 (أشار راسل إلى أن هذين العددين من أصعب المفاهيم في الرياضيات)، وكيفية التغلب على الأحاجي المستندة إلى «واحد وكثير» (هل الكرسي شيء واحد أم كثير من الأشياء: أهو كيان واحد، أم كثير، إذا أحصيت أجزاءه ومكوناته؟) وكيفية فهم الأعداد غير المتناهية. وفور تعريف الأعداد الكاملة، لا تمثل الأعداد الأخرى (الأعداد الموجبة والسالبة والكسور والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة) أي صعوبة تذكر.
ومن ثم يصبح الجزء الأول من البرنامج - وهو تعريف المفاهيم الرياضية في ضوء المفاهيم المنطقية - عموما غير معقد، وذلك بمجرد أن تتوافر التفاصيل الفنية المناسبة. ويتضح أن الجزء الثاني - وهو الجزء المتعلق بالنزعة المنطقية الذي ينطوي على بيان إمكانية إثبات الحقائق الرياضية من المبادئ الأساسية التي يقوم عليها المنطق - أصعب بكثير.
والسبب الأساسي في ذلك - من وجهة نظر راسل آنذاك - كان اكتشافه لوجود تناقض ظاهري. ويتصل ذلك التناقض الظاهري بمفهوم محوري للمشروع، كما يعرض الوصف المختصر السابق: مفهوم الفئات. ووجد راسل نفسه يتفكر أثناء عمله في حقيقة أن بعض الفئات - وبعضها ليس كذلك - أفراد لأنفسها؛ فمثلا، فئة ملاعق الشاي ليست في حد ذاتها ملعقة شاي؛ ولذلك ليست عضوا لنفسها، ولكن فئة الأشياء من غير ملاعق الشاي هي فرد من نفسها لأنها ليست ملعقة شاي. ماذا إذن بخصوص الفئة التي تضم كل الفئات التي ليست أفرادا لأنفسها؟ إذا لم تكن هذه الفئة فردا من نفسها، تصبح بالتبعية فردا من نفسها؛ وإذا كانت فردا من نفسها، فلن تصبح بالتبعية فردا من نفسها؛ إذن فهي فرد من نفسها وليست فردا من نفسها في الآن عينه؛ ومن هنا يأتي التناقض الظاهري.
في البداية ظن راسل أن السبب في ذلك يعود إلى خطأ تافه، ولكن اتضح له أن كارثة قد حلت، وذلك بعد أن بذل جهدا كبيرا لتصحيح الأمور، وبعد التشاور مع فريجه ووايتهيد. ونشر راسل «مبادئ الرياضيات» دون أن يجد حلا. ولكن أثناء انكبابه هو ووايتهيد على تأليف كتاب «أصول الرياضيات»، ظن أنه قد وجد الحل، ولكن ثبت أن الاستراتيجية التي وضعها خلافية للغاية. وفيما يلي وصف لمجريات الأمر.
اكتشف راسل أنه يتعذر مواصلة محاولة استنتاج النظريات الرياضية من بديهيات منطقية بحتة دون وجود بديهيات إضافية تتيح إثبات نظريات معينة في علم الحساب ونظرية المجموعات. ويوجد بديهيتان من هذه البديهيات الإضافية (تفاصيلهما غير مهمة؛ أذكرهما على سبيل الاكتمال) هما: «بديهية اللانهائية»، وتقول إنه يوجد مجموعات غير متناهية في العالم، و«بديهية التغير» (وأحيانا يطلق عليها «بديهية التضاعف») وتقول بأن داخل كل مجموعة من المجموعات غير المتوالية غير الفارغة توجد مجموعة تتقاسم عضوا واحدا بالضبط مع كل من المجموعات الفردية الأخرى. توجد حاجة إلى وجود البديهيات حتى يتسنى تعريف الأعداد من حيث الفئات، كما سبق الوصف. ولكن يبدو أن كلتيهما تنطويان على صعوبة ما، وهي أنهما ذواتا طابع وجودي، بمعنى أنهما تقولان «يوجد كذا» - في الحالة الأولى عدد، وفي الثانية مجموعة - وهذه مشكلة لأنه لا ينبغي أن يعنى المنطق بما يوجد أو بما لا يوجد، بل ينبغي أن يعنى بالأمور الشكلية تماما فقط. ولكن راسل وجد حلا، وهو تناول التعبيرات الرياضية باعتبارها جملا شرطية؛ أي باعتبارها جملا بصيغة «إذا ... إذن»، على أن تشغل البديهيات الفراغ الموجود بعد «إذا»: وكأنها تقول، «إذا سلمت بصحة هذه البديهية، إذن ...» ونظرا لأن هذه الجمل الشرطية قابلة للاستنتاج من بديهيات المنطق؛ فلا يهم الاستعانة الظاهرية بالاعتبارات الوجودية.
ولكن نشأت صعوبة أكبر بكثير من بديهية إضافية ثالثة، وهي «بديهية قابلية الاختزال». هذه هي البديهية التي استخدمها راسل للتغلب على مشكلة التناقض الظاهري، ولكن علماء المنطق الآخرين لا يستطيعون تقبلها.
ترتبط بديهية قابلية الاختزال ب «نظرية الأنماط» التي وضعها راسل. توجد طريقة مبسطة لفهم هذه النظرية، وذلك من خلال ملاحظة أن التناقض الظاهري الذي اكتشفه راسل سببه أن صفة «عدم كون الفئة فردا من نفسها» تنطبق على الفئة التي تضم كل الفئات التي تحمل تلك الصفة. لكن إذا أمكن ابتكار قيد يقضي بأن هذه الصفة قابلة للتطبيق على الفئات التي تضم أفرادا فقط وليس على الفئة التي تضم فئات، فلن ينشأ تناقض ظاهري. ويوحي هذا بأنه لا بد من وجود ما يشبه فارقا يتألف من مستويات فيما بين الصفات، بحيث إن الصفات المسندة في مستوى معين يتعذر إسنادها عند مستوى أعلى.
صفحة غير معروفة