5
0
0
0
وليس من العسير أن نثبت أن مجموع الأعداد الكسرية يساوي هو الآخر قوة المعدود؛ بل من الممكن أن نثبت بها أمرا آخر أصعب، وهو: أن مجموع الأعداد الجبرية (التي تشتمل إلى جانب الأعداد الصحيحة والكسرية على أعداد مثل ، ، ) له هو الآخر قوة المعدود.
ولقد كان لاستبدال فكرة القوة بفكرة العدد قيمة تنظيمية كبرى في بحث مشاكل اللامتناهي العددي، وعلينا أن ننتبه جيدا إلى هذه القيمة. والحق أن الفكرة هنا ليست عسيرة؛ بل إن كل فيلسوف يريد أن يظل على صلة بالمشاكل الحديثة يستطيع أن يفهمها دون عناء كبير.
أما مجموع الأعداد الحقيقية (وبالتالي مجموع نقط المستقيم) فيجب أن نبحث له عن قوة أخرى. فهذا المجموع ليست له قوة المعدود، بل قوة الكم المتصل التي سوف نفحصها الآن.
فلنفحص جزءا من مستقيم طوله أ ب، وجزءا طوله مضاعف هو أ ب ففي كل منهما بطبيعة الحال عدد لا متناه من النقط، ومع ذلك فإذا أردنا مقارنة هاتين المجموعتين اللامتناهيتين من النقط، كان الجواب المتسرع هو أن نقط أ، ب ضعف نقط أ ب، ما دام طول أ ب ضعف طول أ ب. ولكن لنتصور المستقيمين كما في الشكل التالي. فمن الممكن أن تؤدي قواطع م د د إلى إيجاد تناظر بين كل نقطة من أ ب وبين نقطة واحدة فحسب من أ ب، وبالعكس وهكذا نجد أن مجموع أ ب ومجموع أ ب لهما نفس القوة، وهي القوة المسماة بقوة المتصل. وليس هذا البرهان حديثا بل إنه يظهر في كتاب أويلر
Euler
26 «رسائل إلى أميرة ألمانية».
نامعلوم صفحہ