Wir müssen wissen,

Wir werden wissen.

أي: لا بد أن نعرف،

وسوف نعرف.

بالرغم من أن جوتلوب فريجه كان منافسا لدودا لهيلبرت في بعض الأحيان، فقد كان أحد المنارات الرائدة فيما يدعى ببرنامج هيلبرت. لقد كرس فريجه حياته على مدى أكثر من عقد من الزمان لاشتقاق المئات من المبرهنات من المسلمات البسيطة، وقد قاده نجاحه إلى الاعتقاد بأنه في طريقه إلى إكمال جزء كبير من حلم هيلبرت. ومن الإنجازات المهمة التي حققها فريجه وضع تعريف للعدد. فما الذي نعنيه تحديدا بالعدد 3 على سبيل المثال؟ وقد اتضح أنه من أجل تعريف العدد 3، كان على فريجه أن يعرف «الثلاثية» أولا.

و«الثلاثية» هي السمة المجردة التي تعزى إلى التوليفات أو المجموعات التي تضم ثلاثة أشياء. فيمكن أن تستخدم «الثلاثية» لوصف مجموعة الفئران العمياء المذكورة في أغنية الروضة الشهيرة على سبيل المثال، وهي ملائمة بالقدر نفسه لوصف مجموعة الأضلاع الثلاثة الموجودة في المثلث. لاحظ فريجه وجود العديد من المجموعات التي تتسم بصفة «الثلاثية»، واستخدم فكرة المجموعات لوصف العدد «3» نفسه. لقد ابتكر مجموعة جديدة وضم إليها جميع المجموعات التي تتسم بصفة «الثلاثية»، وأطلق على هذه المجموعة الجديدة التي تضم المجموعات «3». ومن ثم؛ فإن المجموعة تحتوي على ثلاثة أعداد في حالة واحدة فقط، وهي أن تقع ضمن المجموعة «3».

شكل 4-3: ديفيد هيلبرت.

وقد يبدو هذا التعريف معقدا للغاية لأن يكون تعريفا لمفهوم نستخدمه كل يوم، لكن تعريف فريجه للعدد «3» دقيق ويقيني، وهو ضروري تماما لبرنامج هيلبرت الصارم.

في عام 1902، بدا أن معاناة فريجه في طريقها إلى الانتهاء؛ إذ راح يعد لنشر «القوانين الأساسية لعلم الحساب»، وهو كتاب ضخم ثقة يتألف من جزأين كان الهدف منه هو وضع معيار جديد لليقين في الرياضيات. وفي الوقت نفسه، توصل عالم المنطق الإنجليزي، برتراند راسل، الذي كان يسهم هو أيضا في مشروع هيلبرت العظيم، إلى اكتشاف مدمر. فبالرغم من اتباع بروتوكول هيلبرت الصارم، فإنه قد صادف حالة من التضارب. وقد ذكر راسل ردة فعله تجاه ذلك الإدراك المروع بأن الرياضيات قد تكون متناقضة في جوهرها:

لقد ظننت في بادئ الأمر أنني سأتمكن من التغلب على التناقض بسهولة، وأن ثمة خطأ تافها في التبرير المنطقي على الأرجح. بالرغم من ذلك، فقد اتضح تدريجيا أن ذلك ليس صحيحا ... على مدى النصف الثاني من العام 1901، كنت أفترض أن الحل سيكون سهلا، لكنني توصلت بنهاية ذلك الوقت إلى أنه سيكون مهمة صعبة ... صار من عاداتي أن أتفكر فيما هو شائع كل ليلة من الحادية عشرة إلى الواحدة، وبحلول ذلك الوقت تمكنت من معرفة الأصوات الثلاثة التي تصدرها طيور السبد. (معظم الناس لا يعرفون إلا واحدا.) كنت أحاول بجد لحل التناقض. كنت أجلس كل صباح أمام صفحة خالية من الورق. وأحدق في هذه الورقة على مدى اليوم بأكمله إلا من مدة قصيرة للغداء. وغالبا ما كانت تظل فارغة بحلول المساء.

نامعلوم صفحہ