n

أعدادا أولية فحسب؛ فستثبت المبرهنة على جميع قيم

n . حين نفكر في تناول جميع الأعداد الصحيحة، يتضح أنها كثيرة إلى ما لا نهاية. أما حين نفكر في تناول الأعداد الأولية فحسب، التي لا تمثل سوى جزء صغير للغاية من الأعداد الصحيحة، فإن الأمر يصبح أبسط كثيرا بالتأكيد، أليس كذلك؟

من البديهي أن نفكر أننا إذا بدأنا بكمية لا نهائية، ثم حذفنا الجزء الأكبر منها، فسوف نتوقع أن ما يتبقى لدينا سيكون كمية نهائية. بالرغم من ذلك، فمن سوء الحظ أن البديهة ليست هي الفيصل في الحكم على الحقيقة في الرياضيات، بل المنطق هو الفيصل. وحقيقة الأمر أنه يمكن إثبات أن قائمة الأعداد الأولية لا نهائية. ومن ثم؛ فبالرغم من تجاهل الغالبية العظمى من المعادلات التي تكون فيها قيمة

n

من غير الأعداد الأولية، فإن عدد المعادلات المتبقية التي تكون فيها قيمة

n

من الأعداد الأولية سيظل لا نهائيا أيضا.

إن تاريخ البرهان الذي يثبت وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، يعود إلى إقليدس، وهو أحد الحجج الكلاسيكية في الرياضيات. في البداية، يفترض إقليدس وجود قائمة نهائية من الأعداد الأولية، ويثبت بعد ذلك أنه لا بد من وجود عدد لا نهائي من الإضافات إلى هذه القائمة. يوجد

من الأعداد الأولية في قائمة إقليدس، وهو يسميها . ويمكن لإقليدس بعد ذلك توليد عدد جديد: ، على النحو التالي:

نامعلوم صفحہ