يقول أيه إن وايتهيد: «يعتمد يقين الرياضيات على تعميمها المجرد تماما.» عندما نؤكد أن ، فإننا نؤكد علاقة بين ثلاث مجموعات من «الأشياء»، وهذه الأشياء ليست تفاحات أو بنسات أو أشياء من أي نوع أو آخر بعينه، ولكنها فقط أشياء، «أي أشياء قديمة». فمعنى الجملة مستقل تماما عن مجموع السمات الفردية لأجزائها. جميع «الكائنات» أو «الكيانات» أو «العلاقات» الرياضية، مثل « » أو « » أو « » أو « » أو « »، وجميع الفرضيات الرياضية التي تظهر فيها، تكون عامة تماما، أي مجردة تجريدا تاما. وفي الواقع، في كلمات وايتهيد إسهاب زائد عن الحاجة؛ إذ إن «التعميم» بهذا المفهوم هو نفسه «التجريد».

يرجى ملاحظة أن كلمة «تعميم» في أي من الاقتباسين لا تشير فقط إلى تجريد المصطلحات الفردية ومرجعياتها، ولكن أيضا إلى الشمولية المجردة تماما للحقائق المؤكدة. وهذا هو الفرق بين الحقيقة المثبتة (أي القاعدة أو الصيغة) في الرياضيات البحتة وبين النظرية الرياضية. وأحد الأمثلة المشهورة على هذا الفرق (وهو مثال معروف لتلاميذ د. جوريس، على أية حال) هو أن (1) «مجموع المتسلسلة

حقيقة مثبتة، في حين أن (2) «لأي ، مجموع أول عدد

من الأعداد الصحيحة الفردية =

هو نظرية، أي رياضيات بمعناها الفعلي».

إن الهدف في الغالب مما سوف نعرضه هنا أن يكون تذكيرا ببعض الأشياء التي تعرفها إلى حد ما أو سبق أن درستها في المدرسة. إذا كانت معرفتك بالنظم الشكلية أفضل من بسيطة، فسوف تتعامل مع الفقرات الثلاث التالية على أنها معلومات بسيطة للغاية وغير معقدة، ومن ثم يمكن أن تتعامل معها على أنها معلومات إضافية يمكنك تخطيها أو المرور عليها سريعا. يتطلب النظام الشكلي للبرهان مسلمات وقواعد استدلال. المسلمات هي فرضيات جلية يمكن التأكد منها دون برهان. على سبيل المثال، لعلك تذكر مسلمات إقليدس أو فرضيات بيانو من أيام الدراسة. أما قواعد الاستدلال، التي تسمى أحيانا قوانين التفكير، فهي المبادئ المنطقية التي تجيز اشتقاق حقائق من حقائق أخرى.

12

وتكون بعض قواعد الاستدلال بسيطة مثل قانون الهوية، الذي ينص أساسا على أنه إذا كان شيء ما هو ، فإنه إذن . والبعض الآخر يكون أكثر تعقيدا. وفيما يخص نقاشنا هنا، ثمة قاعدتان من قواعد الاستدلال ينفردان بأهمية خاصة. تعرف القاعدة الأولى باسم قانون الوسط المستبعد أو الثالث المرفوع. طبقا لهذا القانون، أي فرضية رياضية

إما أن تكون صحيحة أو، إذا كانت غير صحيحة، فإنها خطأ، ولا ثالث بين الاحتمالين.

13

نامعلوم صفحہ