4

5 ...

إلى ما لا نهاية

نقول إن هاتين الفئتين سترتبطان إحداهما بالأخرى بعلاقة واحد بواحد، أي إن كل عضو من الفئة الأولى سيقابله عضو من الفئة الثانية، دون أن نضطر إلى حذف حد من حدود الأخرى، ومعنى ذلك أن الفئتين متساويتان، رغم كون الأولى بادئة بحلقة سابقة على الحلقة التي تبدأ منها الثانية.

لكن افرض أن «ف» هي سلسلة الأعداد النهائية حتى عدد «ن» - حين يكون «ن» نفسه عددا نهائيا - وأن «ف » مؤلفة من نفس أعداد «ف» ما عدا الصفر، فعندئذ «ف» و«ف » لا تكونان متشابهتين؛ لأن الثانية ستنقص حدا عن الأولى، حتى إذا ما حاولنا وصلهما بعلاقة واحد بواحد، بقي من حدود السلسلة الأولى حد لا نجد ما نربطه به من حدود السلسلة الثانية.

ففي الحالة التي يمكن أن نحذف من «ف» حدا، بحيث تتكون لدينا بعد هذا الحذف فئة جديدة هي «ف »، ثم نجد أنه - رغم هذا الحذف - لا تزال الفئتان متشابهتين، قلنا عن «ف» إنها فئة لا نهاية، وأما الحالة التي لا يمكن فيها ذلك، فإن «ف» تكون فئة نهائية محدودة بعدد معلوم.

33

وكذلك تكون الحال بالإضافة كما هي بالحذف، أعني أننا إذا أضفنا إلى «ف» حدا جديدا، فتكونت بذلك فئة هي «ف »، ثم وجدنا أننا رغم هذه الإضافة ما زلنا نجد الفئتين متشابهتين أي مرتبطتين بعلاقة واحد بواحد كانت «ف» فئة لا نهائية، أما إذا أجرينا هذه الإضافة إلى «ف» فتكونت فئة جديدة هي «ف »، بحيث يحدث بين الفئتين اختلاف يتعذر معه الربط بعلاقة واحد بواحد، كانت «ف» فئة نهائية.

والخلاصة هي أن الفئة اللانهائية هي التي لا تتغير بحذف أحد حدودها ولا بإضافة حد جديد إليها.

ومن هنا تنشأ المشكلات والنقائض في نظر الفلاسفة؛ ذلك لأنهم لا يعلمون عن طبيعة العدد ما قد كشف عنه الرياضيون في عصرنا الحديث، فيحسب الفيلسوف من هؤلاء أن الأعداد كلها سواء، فإن كان العدد النهائي - كالعدد 9 مثلا - يتغير بإضافة واحد إليه كما يتغير بحذف واحد منه، فكذلك يتغير العدد اللانهائي - في ظن أولئك الفلاسفة - بالإضافة إليه أو بالحذف منه، ومن ثم تبدأ المشكلة عندهم.

Bilinmeyen sayfa