شكل 4-7: شريحة ثنائية الأبعاد لعنصر الجذب في نموذج إينو-هايلس. لاحظ الحلقات الآنية، والبحر الفوضوي الذي به الكثير من الجزر (الخالية).

إذا كانت الحجوم في فضاء الحالة لا تنكمش عبر الزمن، فلا يمكن أن يكون ثمة عناصر جذب. في عام 1964، نشر إينو وهايلس ورقة بحثية توضح الديناميكيات الفوضوية في نموذج رباعي الأبعاد لحركة نجم في مجرة. تسمى النظم التي لا تتناقص حجوم فضاء الحالة فيها - بما في ذلك أنظمة ميكانيكا الأجرام السماوية النيوتونية التي تستخدم بصورة شائعة في توقع الكسوف، والتي تتتبع مستقبل النظام الشمسي والمركبات الفضائية فيها - نظما «هاملتونية». يمثل الشكل رقم

4-7

شريحة من نظام إينو-هايلس، وهو نظام هاملتوني. لاحظ التداخل المعقد للجزر الخالية في بحر من المسارات الفوضوية. ربما تقع الحالات الأولية التي بدأت داخل هذه الجزر في حلقات تكاد تكون مغلقة (طارات)، أو ربما تتبع مسارات فوضوية محصورة في إحدى سلاسل الجزر. وفي كلتا الحالتين، يمكن توقع ترتيب المرور على الجزر في السلسلة، وإن كان لا يمكن توقع الموضع على كل جزيرة على وجه التحديد. على أي حال، لا تكون الأشياء غير متوقعة إلا على المقياس ذي الأطوال الصغيرة.

استغلال استبصارات الفوضى

في فترة السنوات الثلاث بين عامي 1963 و1965، نشرت ثلاث أوراق بحثية منفصلة (من تأليف لورنز، ومور وشبيجل، وإينو وهايلس)، استخدمت كل منها الحاسوب الرقمي لطرح ما صار يطلق عليه بعدها «الديناميكيات الفوضوية». في اليابان، تمكن يوشيسكي ويدا من رصد الفوضى في تجارب تعتمد على حاسوب تناظري، وكان علماء الرياضيات الروس يعملون على تطوير الأسس التي توصل إليها علماء الرياضيات حول العالم قبل أكثر من قرن من الزمان. بعد ذلك بخمسين عاما تقريبا، ظللنا نكتشف - وما زلنا - طرقا جديدة لاستغلال هذه الاستبصارات.

ماذا يحد من القابلية لتوقع الكسوف الشمسي المستقبلي؟ هل يرجع هذا إلى عدم اليقين في معرفتنا للمدارات الكوكبية نظرا للدقة المحدودة في طرق قياسنا الحالية؟ أم إلى التباينات المستقبلية في طول اليوم الذي يغير الموضع على سطح الأرض الذي يتعرض للكسوف؟ أم إلى عجز معادلات نيوتن نظرا لوجود مؤثرات توصف (بصورة أفضل) من خلال النظرية النسبية العامة؟ نعرف أن القمر يتحرك بعيدا في بطء عن الأرض، وبافتراض استمرار ذلك، سيبدو في النهاية أصغر كثيرا مما هو عليه الآن، حتى إنه لن يستطيع حجب الشمس بالكامل. في تلك الحالة، سيكون ثمة كسوف كلي أخير للشمس، فهل يمكن أن نتوقع متى سيقع هذا الحدث؟ وأين يجب أن نكون على سطح الأرض لرؤية هذا الكسوف - آخذا في الاعتبار حالة الطقس؟ لا نعرف الإجابة عن هذا السؤال، مثلما لا نعرف - على وجه التحديد - إن كان النظام الشمسي مستقرا أم لا. كان نيوتن مدركا تماما للصعوبات التي كانت السلوكيات اللاخطية تشكلها في سبيل تحديد درجة الاستقرار القصوى لثلاثة أجسام سماوية فقط، وأشار إلى أن ضمان تحقق استقرار النظام الشمسي كان مهمة الرب. من خلال فهم أنواع المدارات الفوضوية التي تسمح بها النظم الهاملتونية، عرفنا أشياء كثيرة عن الاستقرار النهائي للنظام الشمسي. وأفضل توقعاتنا حاليا هو أن نظامنا الشمسي مستقر، على الأرجح. تتأتى استبصارات مثل هذه من خلال فهم هندسة الأشكال في فضاء الحالة، وليس من خلال محاولة إجراء عمليات حسابية مفصلة تعتمد على الأرصاد الجوية.

هل يمكن أن نستقي استبصارات على نحو آمن من السلوك الرياضي للنظم القليلة الأبعاد؟ تشير هذه النظم إلى ظواهر جديدة تكتشف من خلال التجارب، مثل التضاعف الدوري، أو تشير إلى ثوابت جديدة تحسب في الطبيعة، مثل رقم فايجنباوم. تمثل هذه النظم البسيطة أيضا مواضع اختبار لأساليب توقعاتنا، وهو أمر خطير إلى حد ما؛ فهل ظواهر النظم الفوضوية القليلة الأبعاد هي الظواهر نفسها التي نرصدها في النماذج الأكثر تعقيدا؟ وهل هذه الظواهر شائعة للغاية بحيث إنها تحدث «حتى في» النظم البسيطة القليلة الأبعاد مثل نظام لورنز لعام 1963 أو نظام مور-شبيجل؟ أم إن هذه الظواهر ترجع إلى بساطة هذه الأمثلة؟ وهل تحدث هذه الظواهر «فقط في» النظم الرياضية البسيطة؟ تنطبق مسألة «حتى في» أو «فقط في» نفسها على الأساليب المطورة لتوقع النظم الفوضوية أو التحكم فيها، والتي يجري اختبارها في النظم القليلة الأبعاد. هل تحدث هذه الأشياء «حتى في» أو «فقط في» النظم القليلة الأبعاد؟ الإجابة الأقوى حتى الآن هي أن الصعوبات التي نحددها في النظم القليلة الأبعاد نادرا ما تختفي في النظم المتعددة الأبعاد، بينما الحلول الناجحة لهذه الصعوبات والتي تصلح في حالة النظم القليلة الأبعاد تثبت فشلها في النظم المتعددة الأبعاد. مع إدراكه لحجم خطر المجازفة في التعميم انطلاقا من نظم ثلاثية الأبعاد، انتقل لورنز إلى نظام يتضمن 28 بعدا قبل حوالي 50 عاما، ولا يزال يضع نظما جديدة اليوم، بعضها يتضمن بعدين وبعضها يتضمن 200 بعد.

تؤثر الفوضى واللاخطية على مجالات كثيرة. ربما يتمثل الاستبصار الأعمق المستخلص هنا في أن الحلول التي تبدو معقدة تكون مقبولة في بعض الأحيان، وليس من الضروري أن تكون بسبب أي تشويش ديناميكي خارجي. لا يشير هذا ضمنا إلى أن هذه الحلول - في أي حالة بعينها - لا ترجع إلى تشويش خارجي، مثلما لا يقلل من القيمة العملية للنمذجة الإحصائية التصادفية، وهي التي تتمتع بخبرة وممارسة إحصائية جيدة ترجع إلى قرن تقريبا. ولكنه يشير إلى القيمة المتضمنة في تطوير اختبارات لأي أساليب مستخدمة في تطبيق معين، وفي اختبارات التوافق لجميع أساليب النمذجة المتبعة. يجب أن تكون نماذجنا خالية من القيود قدر الإمكان، لكن ليس أكثر مما ينبغي. ربما يكمن الأثر الدائم لهذه النظم البسيطة في قيمتها التعليمية؛ حيث يمكن أن يتعرف الشباب على السلوكيات الثرية لهذه النظم البسيطة في وقت مبكر من فترة تعليمهم. من خلال اشتراط التوافق الداخلي، تقيد الرياضيات جموح خيالاتنا في تصوير المجازات، ليس لجعلها متسقة مع الواقع الفيزيائي، ولكن لفتح آفاق جديدة في كثير من الأحيان.

الفصل الخامس

Unknown page