[book 3]

[chapter 1: III Preface]

المقالة الثالثة من كتاب اوقليدس فى الاصول بسم الله الرحمن الرحيم

قال اوقليدس الدوائر المتساوية هى التى اقطارها متساوية والخطوط التى تخرج من مراكزها الى الخطوط المحيطة بها متساوية قال ايرن هذا القول مبين لانه اذا كانت الاقطار متساوية فان الخطوط الخارجة من المراكز الى المحيطات تكون متساوية لان كل واحد من تلك الخطوط نصف القطر وظاهر لنا انه اذا كانت الخطوط المستقيمة الخارجة من المراكز الى المحيطات متساوية فان الدوائر تكون متساوية لان رسوم الدوائر انما يكون بالبعد الذى بين المراكز والمحيطات الذى هو نصف الاقطار. قال اوقليدس الخط المستقيم المماس للدائرة هو الذى اذا لامس الدائرة واخرج فى الجهتين جميعا لم يقطع الدائرة والدوائر التى يماس بعضها بعضا هى التى اذا ماس بعضها بعضا لم تتقاطع. الخطوط المستقيمة المساوية البعد عن المركز هى التى الاعمدة الخارجة من المركز اليها متساوية واعظمها بعدا عن المركز هو الذى العمود الخارج اليه اعظم.

Bogga 2

قال ايرن ان الرياضى اراد ان يبين البعد الذى بين المراكز وبين الخطوط المستقيمة المساسة لذلك ذكر الاعمدة وذلك انه قد يمكن ان نخرج من كل نقطة الى كل خط خطوط كثيرة فاما البعد الذى بين النقطة وبين الخط فهو العمود الخارج من تلك النقطة الى ذلك الخط. قال اوقليدس وقطعة الدائرة هى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقطعة قوس من محيط الدائرة. وزاوية القطعة هى التى اذا علم على قوس القطعة نقطة ما واخرج منها الى نهايتى قاعدة القطعة خطان مستقيمان احاطا بها واذا كان الخطان المحيطان بالزاوية يحيطان بقوس فان تلك الدائرة [الزاوية .scr] تسمى المركبة على تلك القوس. قطاع الدائرة هو الشكل الذى يحيط به الخطان المستقيمان المحيطان بالزاوية والقوس التى الزاوية متركبة عليها قال ايرن يعنى بالقوس التى توتر الزاوية وانواع القطاع اثنان فمنها ما يكون رؤسها على المراكز ومنها ما يكون رؤسها على المحيطات فاما التى رؤسها [لا كان]ت على المراكز ولا على المحيطات فانها ليست بقطاع لكنها تشابه القطاع قال اوقليدس قطع [الدو]ائر المتشابهة هى التى زوايا[ها] متساوية او التى تكون الزوايا التى تقع فيها متساوية. قال [اي]رن قد ينبغى ان نعلم انه كانت قطع الدوائر متشابهة فان الزوايا المرسومة فيها متساوية وع[ند ?] ذلك اذا كانت الزوايا التى تقع فى قطع الدوائر متساوية فان تلك القطع متشابهة وانواع الاشكال هى هذه الدائرة وقطع الدائرة والمنحدبة والهلالية اما الدائرة فهى الشكل الذى قد خصناه فى الاشكال التى تحيط بها الخطوط المستقيمة واما قطعة الدائرة فهى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقوس من محيط الدائرة واذا تقاطعت دائرتان فان القطعة المشتركة لهما تسمى المنحدبة والقطعتان الباقيتان تسمى كل واحدة منهما هلالية. فتمت المصادرة

Bogga 6

اذا جاز خط مستقيم على دائرة يماسها من خارجها ولا يقطع منها شياء فانه يقال له المماس للدائرة. واذا كانت الدوائر تماس بعضها بعضا ولا تقطع واحدة منها الاخرى فانه يقال له المتماسة. واذا كانت فى الدوائر خطوط فكانت الاعمدة التى تخرج اليها من المركز متساو[ية فان ا]بعاد الخطوط من المركز سوآء وابعدها هو الذى عموده اطول. والقطعة من الدائرة يحيط بها خط مستقيم يقال له الوتر وطائفة من الخط المحيط يقال لها القوس وزاوية القطعة يحيط بها خط الوتر وخط القوس. واذا تعلمت نقطة على خط القوس واخرج منها خطان الى طرفى الوتر فصار الوتر قاعدة لهما فان الزاوية التى على النقطة والخطان يحيطان بها مركبة على القوس والشكل الذى يقال له القطاع هو الذى يحيط به خطان يخرجان من المركز الى الخط المحيط والقوس الذى بينهما والزاوية التى يحيط بها الخطان مركبة على مركز الدائرة وقطع الدوائر اذا كانت زاويتا كل قطعة مساويتين لزاويتى القطعة الاخرى فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فان زاويتى كل قطعة مساويتان لزاويتى القطعة الاخرى. واذا كانت زوايا القطع متساوية فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فالزاويا متساوية. ع

[chapter 2: III 1] الشكل الاول من المقالة الثالثة

Bogga 8

نريد ان نبين كيف نجد مركز دائرة مفروضة فننزل انها دائرة اب ونريد ان نبين كيف نجد مركزها فننحرج فيها وتر جد حيث شئنا من الدائرة ونقسمه بنصفين على نقطة ه كما بينا قسمة تلك ببرهان يب من ا ونقيم على نقطة ه عمودا ونخرجه فى كلتى الجهتين حتى ينتهى طرفاه الى محيط الدائرة كما بينا اخراجه ببرهان يا من ا وليكن خط اب ثم نقسم خط اب بنصفين على نقطة ح واقول ان نقطة ح مركز الدائرة وانه لا يمكن ان يكون غيرها مركزا فان امكن ان يكون غير نقطة ح هى المركز فليكن مركزها نقطة ط ونخرج خطوط طد طه طج فلان خط جه مثل خط هد فانا اذا اخذنا خط هط مشتركا يكون خطا جه هط مثل خطى ده هط ولان نقطة ط رسمت على انها مركز الدائرة يجب ان يكون خط طج مثل خط طد فببرهان ح من ا فان زاوية جهط مساوية لزاوية دهط واذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتيه متساويتين فان الخط القائم عمود عليه وكل واحدة من الزاويتين قائمة فزاوية جهط اذا قائمة لكن زاوية جهح قد تبين انها هى القائمة [فزا]وية جهط الصغرى مثل زاوية جهح العظمى هذا خلف لا يمكن فليست نقطة ط اذا بمركز للدائرة وكذلك سائر النقط التى تفرض فى الدائرة حيث فرضت منها غير ممكن ان تكون مركزا للدائرة سوى نقطة ح معما قد تبين من وجودنا لمركز الدائرة قد تبين ايضا ان كل وترين يقسم احدهما الاخر بنصفين وعلى زوايا قائمة فان عليه يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين. تبين انه لا يكون وتران فى دائرة يقطع احدهما الاخر بنصفين على زاوية قائمة الا وهو يجوز على مركز الدائرة.

[chapter 3: III 2] الشكل الثانى من المقالة الثالثة

Bogga 10

اذا فرض على محيط دائرة نقطتان كيف ما وقعتا ووصل بينهما بخط مستقيم فان الخط المستقيم الذى يصل بين النقطتين يقع داخل الدائرة مثاله انا نفرض على دائرة اب نقطتى جد ونخرج خط جد مستقيما فاقول انه وقع داخل دائرة اب برهانه انه غير ممكن ان يقع خارجا عن الدائرة فان امكن فليقع على مثال خط جهد ونطلب مركز الدائرة بحسب برهان الشكل الاول من هذه المقالة وننزل انها نقطة ز ونصل بين نقطتى جز ونقطتى زد ونخرج من نقطة ز الى محيط دائرة اب خطا مستقيما كيف ما وقع وننزل انه خط زب وننزل انا قد انفذناه الى نقطة ه فان كان كما انزلنا ان خط جهد مستقيم فمن البين ان مثلث جهدز متساوى الساقين لان ساق جز مساو لساق زد لانهما خرجا من المركز الى المحيط فزاوية زجه مثل زاوية زده وبحسب يو من ا فان زاوية زهج الخارجة من مثلث زده اعظم من زاوية زده الداخلة فزاوية زهج اذا اعظم من زاوية زجه لكن بحسب برهان يط من ا يكون ضلع زج الموتر للزاوية العظمى اعظم من ضلع هز الموتر للزاوية الصغرى لكن خط زج مساو لخط زب فخط زب اذا اعظم من خط زه الاصغر اعظم من الاعظم هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 4: III 3] الشكل الثالث من المقالة الثالثة

Bogga 12

اذا اجيز على مركز دائرة خط مستقيم فقطع خطا اخر مستقيما ليس على المركز بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه على زوايا قائمة فانه يقطعه بنصفين مثاله ان دائرة اب مركزها نقطة ز وقد اجيز على ز خط اب وقد قطع خط جد على نقطة ه فاقول ان كان قطعه بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه على (على) زوايا قائمة فانه يقطعه بنصفين برهانه انا ننزل اولا انه قطعه بنصفين على نقطة ه ونخرج [من ن]قطة ز المركز خطى زج زد فلان خط جه مثل خط هد وناخذ هز مشتركا فان خطى جه هز مثل خطى ده هز [فق]اعدة جز مثل قاعدة دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ح من ا تصير زاوية جهز [مس]اوية لزاوية دهز وبحسب مصادرة ا اذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان الل[تان ع]ن جنبتى الخط القائم متساويتين فان كل واحد من الزاويتين يقال لها قائمة فزاويتا جهز دهز كل واحد[ة من هم]ا قائمة فقد تبين ان خط اب لما قطع خط جد بنصفين قطعه على زوايا قائمة وننزل ايضا ان خط اب قد قطع خط جد على نقطة ه على زوايا قائمة فاقول انه قد قطعه بنصفين برهانه ان مثلث جزد متساوى الساقين ساق زد مثل ساق زج لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ه من ا فان زاوية زجد مساوية لزاوية زدج وقد كنا بينا ان زاوية جهز القائمة مثل زاوية دهز فزاويتا زجه زهج مساويتان لزاويتى زده زهد فبحسب برهان لب من ا تبقى زاوية جزه مساوية لزاوية دزه فاذا اخذنا خط زه مشتركا فانه يكون ضلعا جز زه مساويين لضلعى دز زه وزاوية جزه قد تبين انها مثل زاوية دزه فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة جه مثل قاعدة ده فقد تبين ان خط اب قد قطع خط جد بنصفين وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 5: III 4] الشكل الرابع من المقالة الثالثة

Bogga 14

اذا تقاطع خطان فى دائرة على غير المركز فانهما لا يتقاطعان على انصافهما مثاله ان خطى جد هز قد تقاطعا فى دائرة اب على نقطة ح وليس واحد منهما يجوز على المركز فاقول انهما لم يتقاطعا على انصافهما وانه غير ممكن ذلك فان امكن ان يجوز على غير المركز ويقطع احدهما الاخر بنصفين فليتقاطعا على انصافهما ولننزل ان موضع التقاطع نقطة ح ونستخرج مركز دائرة اب كما بين ذلك ببرهان ا من ج وليكن نقطة ط ونصل بين نقطتى طح بخط مستقيم فمن اجل انه قد خرج من نقطة ط التى هى المركز خط طح المستقيم وقسم خط جد بنصفين فبحسب برهان ج من ج فان خط طح عمود على خط جد فزاوية دحط اذا قائمة وايضا فان خط طح عمود على (من المركز الى) خط زه وقسمه بنصفين على نقطة ح فبحسب برهان ج من ج فان خط طح عمود على خط هز فزاوية زحط اذن قائمة وقد تبين ان زاوية دحط ايضا قائمة فزاوية زحط اذن مساوية لزاوية دحط العظمى مثل الصغرى هذا خلف فقد تبين ان خطى جد هز لا يتقاطعان على انصافهما على غير المركز فقد بقى ان يكون تقاطعهما على المركز لان الخطوط الخارجة من المركز الى محيط الدائرة متساوية وذلك ما اردنا ان نبين

[chapter 6: III 5] الشكل الخامس من المقالة الثالثة

Bogga 16

اذا تماست دائرتان فانهما لا تكونان على مركز [واحد] مثاله ان دائرتى اب اج قد تماستا على نقطة ا فاقول انهما لا تكونان على مركز واحد. برهانه ان امكن ان تكونا على مركز واحد فلننزل انهما على مركز د ونخرج خط اد ونخرج من نقطة د خطا الى دائرة اب كيف اتفق وليكن خط دب فمن اجل ان نقطة د مركز لدائرة اج فمن البين ان خط اد مساو لخط [د]ج وايضا فلان نقطة د مركز لدائرة اب وقد خرج منها خطان الى المحيط وهما خطا اد [دب] فخط اد اذن مساو لخط دج والمساوية لشىء واحد فهى متساوية فخط دب اذن مساو لخط دج الاعظم مساو للاصغر هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين قال ايرن انما قدمنا المتماسة على المتقاطعة لان المماسة قبل التقاطع.

[chapter 7: III 6] الشكل السادس من المقالة الثالثة

اذا تقاطعت دائرتان فانهما ليستا على مركز واحد مثاله ان دائرتى ازج ادج تقاطعتا على نقطتى اج فاقول ان دائرتى ازج ادج ليستا على مركز واحد برهانه انه ان امكن فليكن مركزهما واحدا وننزل انه نقطة ه ونخرج من نقطة ه الى نقطة ا خط ها فمن البين انه قد انتهى الى محيط الدائرتين جميعا ونخرج خط هد الى محيط دائرة ادج كيف اتفق اخراجه فمن اجل ان نقطة ه مركز دائرة ازج يكون خط ها مساويا لخط هز وايضا فمن اجل ان نقطة ه مركز لدائرة ادج يكون خط ها مساويا لخط هد وقد تبين ان خط ها مساو لخط هز والمساوية لشى واحد فهى متساوية خط هد اذن مساو لخط هز الاعظم مثل الاصغر هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين

[chapter 8: III 7] الشكل السابع من المقالة الثالثة

Bogga 18

اذا فرض على قطر دائرة علامة ما ليست بمركز الدائرة واخراج من تلك العلامة الى محيط الدائرة خطوط مستقيمة فان اعظم الخطوط الذى عليه مركز الدائرة واصغرها باقى القطر واما الخطوط الاخرى فما قرب منها من المركز كان اعظم مما بعد منها عنه وخطان فقط عن جنبتى القطر متساويان مثاله ان دائرة ابجد قطرها جد ونفرض عليه نقطة لا تكون على المركز ولتكن نقطة ه والمركز نقطة ط ونخرج من نقطة ه الى محيط الدائرة خطوطا كم شئنا وكيف وقعت ولتكن خطوط ها هح هز فاقول ان اطول هذه الخطوط كلها الخط الذى عليه المركز وهو خط هج واقصرها خط هد والباقية فما قرب منها من نقطة ط فهو اعظم مما بعد عنها. اقول ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط ها برهانه انا نخرج من نقطة ط خطوط طز طح طا فمن اجل ان نقطة ط مركز فان خط طز مساو لخط طح وناخذ خط هط مشتركا فخطا هط طز مساويان لخطى هط طح وزاوية هطز اعظم من زاوية هطح فبحسب برهان ڪد من ا فان خط هز اعظم من خط هح لكن خط طز مساو لخط طج فخط هط مع خط طز مساو لخط هج وخط هط مع خط طز اعظم من خط هز وذلك ببرهان ڪ من ا فخط هج اذن اعظم من خط هز وقد تبين ان خط هز اعظم من خط هح وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان خط هح اعظم من خط ها وايضا فان خطى اه هط اعظم من خط اط لكن خط اط مساو لخط دط فاذا خطا اه هط اعظم من خط دط فاذا اسقطنا خط هط [الم]شترك بقى خط اه اعظم من خط هد فقد تبين ان اطول هذه الخطوط كلها خط هج الذى على [عليه .scr] المركز [و]اصغرها تمام القطر الذى هو خط هد والباقى فما قرب من المركز اعظم مما بعد عنه اعنى [ان] قد تبين ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط اه. واقول انه يخرج من [نقطة] ه عن جنبتى القطر الذى هو خط دج الى محيط الدائرة خطان متساويان برهانه انا نخرج من نقطة [ه الى] قوس دڪج خطوطا مستقيمة مساوية لخطوط ها هح هز فنعمل على نقطة ط من خط طج زاوية مثل زاوية اطه كما بينا عمله ببرهان ڪج من ا ولتكن زاوية بطه ونعمل عليها ايضا زاوية مثل زاوية حطه وننزل انها زاوية ڪطه وايضا زاوية مثل زاوية زطه ولتكن زاوية لطه ونخرج خطوط هب هڪ هل فمن اجل ان نقطة ط مركز الدائرة فان خطوط طا طڪ طل تكون متساوية ولانا عملنا زاوية بطه مساوية اطه فانا اذا اخذنا خط طه مشتركا يكون خطا هط طب مساويين لخطى اط طه وزاوية اطه مساوية لزاوية هطب فبحسب برهان د من ا يكون خط اه مساويا لخط هب وتبين ايضا ان خط هڪ مساو لخط هح لانا عملنا زاوية هطڪ مساوية لزاوية حطه فضلعا حط طه مساويان لضلعى ڪط طه وزاوية حطه مثل زاوية ڪطه فخط هح مساو لخط هڪ وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان خط طز مساو لخط طل فقد تبين ان خطين عن جنبتى القطر متساويان وذلك ما اردنا ان نبين فاقول انه غير ممكن ان نخرج من نقطة ه الى قوس دڪج خطوط مساوية ها هح هز غير خطوط هب هڪ هل فان امكن فلنخرج مثل خط هم ونصل مط فخط طم مساو لخط طا لانهما اخرجا من المركز الى المحيط فناخذ خط هط مشتركا فخطا مط طه مساويان لخطى اط طه وقاعدة هم مساوية لقاعدة ها فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية مطه مساوية لزاوية اطه لكنا عملنا زاوية بطه مساوية لزاوية اطه فزاوية مطه اذن مساوية لزاوية بطه العظمى مثل الصغرى هذا خلف غير ممكن وبمثل هذا البرهان يتبين انه لا يمكن [ان نخرج من نقطة ه] الى قوس جڪد خطوط غير هب هڪ هل يساوى خطوط ها هح هز وذلك ما اردنا ان نبين. قال ايرن هذا الشكل قد بين فيه الرياضى ان الخطوط القريبة من المركز اعظم من البعيدة عنه بان صير الخطين فى جهة واحدة من المركز فان فرص لنا خطان من جنبتى المركز احدهما اقرب اليه من الاخر فانا نبين ان اقربهما اليه اعظم من ابعدهما عنه بهذا العمل. نفرض دائرة ابج وقطرها بج ومركزها د نفرض على بج نقطة ه ونخرج منها الى المحيط ها هز ونجعل ها اقرب الى المركز من هز فاقول ان ها اعظم من هز برهانه انا نخرج من د عمودى دح دط وخطى دا دز فلان اه اقرب الى المركز من زه فبحسب مصادرة هذه المقالة يكون عمود دط اعظم من عمود دح فمربع خط دط اعظم من مربع خط دح فمن اجل ان كل وا[حدة] من زاويتى دطه دحه قائمة فببرهان مو من ا فان مربع دط مع مربع طه مساو لمربع ده وكذلك مربع دح مع مربع حه مساو لمربع ده فمربع دط مع مربع طه اذن مساو لمربع دح مع مربع حه ولكن مربع دط قد تبين انه اعظم من مربع دح فيبقى اذن مربع هح اعظم من مربع هط فخط هح اذن اعظم من خط هط. وايضا فلان زاويتى احد زطد كل واحدة منهما قائمة فببرهان مو من ا يكون مربع زط مع مربع طد مساويا لمربع دز ومربع اح مع مربع حد مساويا لمربع اد لكن خط اد مساو لخط دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فمربع اح اذن مع مربع حد مساو لمربع زط مع مربع طد وقد تبين ان مربع دط اعظم من مربع دح فاذا اسقطناهما بقى مربع اح اعظم من مربع زط فخط اح اذا اعظم من خط زط وقد بينا ان خط هح اعظم من خط هط فخط ها اذن اعظم من خط هز وذلك ما اردنا ان نبين. وقال ايرن ايضا فان كان الخط الذى يخرج من علامة د عمودا على خط هز لا يقع على خط هز لكن على الخط المتصل به على استقامة كعمود دح فمن اجل ان خط دز مساو لخط دا لانهما خرجا من المركز الى المحيط ومربعى دط طا مساويان لمربع اد ومربعى دح حز مساويان لمربع دز فان مربعى دح حز مساويان لمربعى دط طا لكن مربع دح اعظم من مربع دط فاذا اسقطناهما بقى مربع اط اعظم من مربع حز فخط اط اذن اعظم من خط زح فاذا اسقطنا من خط حز خط حه وزدنا على خط اط خط طه فمن البين ان جميع خط ها اعظم من خط هز بكثير وذلك ما اردنا ان نبين

[chapter 9: III 8] الشكل الثامن من المقالة الثالثة

Bogga 26

اذا فرضت نقطة خارج دائرة واخرج منها الى الدائرة خطوط مستقيمة احدها يجوز على المركز والاخر كيف ما وقعت من محيط الدائرة فان اعظمها هو الذى يجوز على المركز واصغرها الذى يصل بين النقطة وبين القطر واما الخطوط الاخر فما كان منها يقطع الدائرة ويلقى اخمصها فان ما قرب منها من قطر الدائرة فهو اعظم مما بعد عنها وما كان منها لا يقطع الدائرة ولكن يلقى حدبتها فان ما بعد عن القطر منها يكون اعظم مما قرب منه وقد يخرج من تلك النقطة عن جنبتى القطر الى الدائرة خطان من التى تلقى اخمصها ومن التى تلقى حدبتها متساويان مثاله انا نفرض دائرة اب ونفرض (من) نقطة ج خارجها ونخرج خطوط جد جه جز جا تقطع الدائرة وتلقى اخمصها الذى هو قوس دا وخطوط جط جڪ جل تلقى حدبته التى هى قوس حل وخط جد يمر بنقطة م التى هى المركز فاقول ان اعظمها من التى تقطع الدائرة خط جد والباقية فما قرب من خط جد هو اعظم مما بعد عنه وما بعد عن خط جد [من] الخطوط التى تلقى حدبة الدائرة اعظم مما قرب منه واقصر الخطوط كلها خط جح وقد تخرج [من] ج عن جنبتى خط جد الذى هو القطر خطوط تقطع الدائرة وتلقى اخمصها يكون خطان منهم عن جنبتى القطر متساويين برهانه انا نخرج خطوط ما مز مه فخطوط ما مز مه مد متساوية لانها خرجت من المركز الى المحيط ومن اجل ان كل مثلث فان كل ضلعين من اضلاعه اذا جمعا [كانا] كخط واحد هو اعظم من الضلع الثالث فبحسب برهان ڪ من ا فان خط جم مع خط مه اعظم من خط جه لكن خط مد مساو لخط مه فخط جد اذا اعظم من خط جه ولان ضلعى جم مه من مثلث جمه مساويان لضلعى جم مز من مثلث جمز وزاوية جمه بين انها اعظم من زاوية جمز فبحسب برهان ڪد من ا تكون قاعدة جه اعظم من قاعدة جز وكذلك يتبين ان خط جز اعظم من خط جا فقد تبين ان اعظم الخطوط جد وان جه الاقرب الى جد اعظم من جز الابعد وان جز اعظم من جا فاقول ايضا ان خط جط الذى هو ابعد من خط جد اعظم من خط جڪ الاقرب وجڪ اعظم من جل واقصرها كلها خط جح برهانه انا نخرج خطوط مط مڪ مل فمن اجل ان كل مثلث فان ضلعين من اضلاعه كخط واحد اعظم من الضلع الثالث فان مل لج اعظم من مج لكن مل مثل مح فاذا اسقطناهما بقى لج اعظم من حج ومن اجل مثلث مڪج قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه وهو ضلع مج خطان فالتقى طرفاهما على نقطة ل داخل المثلث فان بحسب برهان كا من ا يكون خط مل مع خط لج اصغر من خط مڪ مع خط ڪج لكن خط مڪ مثل خط مل فاذا اسقطناهما بقى خط جڪ اعظم من خط جل وكذلك يتبين ان خط جط اعظم من خط جڪ فقد نبين ان اعظم هذه الخطوط جط واقصرها دح [جح .s] وان جط اعظم من جڪ وجڪ اعظم من جل وجل اعظم من جح واقول ايضا انه قد تخرج من نقطة ج خطوط عن جنيتى خط جد تقطع الدائرة وتلقى اخمصها كل خطين خطين نظيرين منها متساويان برهانه انا نعمل على نقطة م من خط جم زاوية مثل زاوية جمه كما بين عملها ببرهان كج من ا ولتكن زاوية جمب فلان خط مب مساو لخط مه ونخرج خط جم مشتركا يكون خطا جم مب مساويين لخطى جم مه وزاوية جمب عملت مساوية لزاوية جمه فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة جه مساوية لقاعدة جب وكذلك لو اردنا ان نخرج خطين اخرين يكون الذى يتلو خط جب مساويا لخط جز والرابع مساويا لخط جا لعملنا على نقطة م من خط جم زاويتين مثل زاويتى جمز جما ثم نصل بين نقطة ج وبين طرف الخط الذى عملت الزاوية عليه من محيط الدائرة فاقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ج الى قوس دبح خط اخر مساو لخط جه غير خط جب ولا خط اخر مساو للخطوط الاخر سوى الخطوط التى خرجت فان امكن فليكن جس ونخرج خط مس فمن اجل ان خط مب مساو لخط مس لانهما خرجا من المركز فانا اذا اخذنا خط جم مشتركا يكون خط جم مع خط جب مثل جم مع جس وزاوية جمب اعظم من زاوية جمس فبحسب برهان ڪد من ا يكون جب اعظم من جس وكنا فرضناهما متساويين هذا خلف فليس يمكن اذن ان يخرج من نقطة ج الى قوس دبح خط مستقيم مساو لخط جب ولا لسائر الخطوط المساوية لخطوط جه جز جا واقول ايضا وقد تخرج من نقطة ج خطوط عن جنبتى خط جح تلقى حدبة الدائرة ويكون كل خطين خطين نظيرين عن جنبتى خط دح متساويين برهانه انا نعمل على نقطة م من خط جم زاوية مثل زاوية جمل ولتكن زاوية جمع ونصل جع فخط مع مساو لخط مل لانهما خرجا من المركز وناخذ جم مشتركا فخطا عم مج مثل خطى لم مج وزاوية عمج عملت مساوية لزاوية لمج فقاعدة جل مثل قاعدة جع وبمثل هذا العمل نخرج من نقطة ج الى تقبيب سح خطوطا مساوية لخطوط جڪ جط واقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ج الى تقبيب سح جط اخر مساو لخط جع فان امكن فليكن مثل خط جف ونصل بين نقطتى مف فمن اجل ان مثلث جمف قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه خطا جع مع والتقى طرفاهما داخل المثلث على نقطة ع فمن البين بحسب برهان كا من ا ان [خط] جف مع خط فم اعظم من خط جع مع خط عم لكن خط مف مساو لخط مع لانهما خرجا من المركز الى المحيط فاذا اسقطناهما بقى خط جف اعظم من خط جع وكنا فرضناهما متساويين وهذا خلف غير ممكن فقد تبين انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ج خط يلقى تقبيب حس مساو لخط حع ولا لسائر الخطوط التى هى نظاير لخطوط جل جڪ دط (جط .s) وذلك ما لردنا ان نبين.

Bogga 34

قال ايرن من اجل ان الرياضى برهن على هذا الشكل بان صير الخطوط فى الجهة الواحدة فينبغى ان نبرهن ببرهان اخر كما فعلنا فى الشكل المتقدم فنقول انه اذا فرض خطان مستقيمان عن جنبتى القطر احدهما اقرب الى المركز والاخر ابعد عنه فان اقربهما اليه يكون اعظم من ابعدهما مثال ذلك انا نفرض دائرة ابج ونخرج قطرها وهو خط بج على استقامة الى نقطة د ونخرج من د الى دائرة ابج خطين اخرين مستقيمين عن جنبتى القطر وهما خطا دا ده وخط دا اقرب الى المركز من خط ده فاقول ان خط اد اعظم من خط ده برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بينا اخراجه ببرهان ا من ا وليكن نقطة ز ونخرج من نقطة ز الى خطى اد ده عمودى زح زط كما تبين اخراجه ببرهان يب من ا فمن اجل ان خط اد اقرب الى نقطة ز من خط ده فان عمود زح اصغر من (مجموع) عمود زط وايضا فمن اجل ان مربع خط دح مع مربع خط زح مساو لمربع خط دز وذلك بحسب برهان مو من ا وكذلك مربع خط دط مع مربع خط طز مساو لمربع خط دز فمجموع مربعى دح حز مس[او] لمجموع مربعى دط طز لكن مربع خط حز اصغر من مربع خط طز فاذا اسقطناهما بقى مربع خ[ط دح] اعظم من مربع خط دط فخط دح اعظم من خط دط وايضا فان خط از مثل خط زه [لانهم]ا خرجا من المركز الى المحيط لكن مجموع مربعى خطى زح اح مساو لمربع خط از ومجموع مربعى خطى زط طه مساو [لمربع] خط زه فمجموع مربعى خطى زط طه اذا مساو لمجموع مربعى خطى زح حا لكن مربع خط زح اصغر من مربع خط زط فاذا اسقطناهما بقى مربع خط اح اعظم من مربع خط طه وكنا بينا ان خط دح اعظم ايضا من خط دط فخط دا اذا اعظم من خط ده وذلك ما ارذنا ان نبين. ونبين ايضا ان الخطوط التى تلقى تقبيب الدائرة ما كان منها اقرب الى الخط الذى بين العلامة وبين القطر يكون اصغر من ما كان منها ابعد عنه ونفعل ذلك ايضا فى خطين مستقيمين يكونان عن جنبتى الخط الذى بين العلامة والقطر فننزل ان الدائرة ابج وقطرها خط بج ونخرج خط بج على استقامة الى نقطة د ونخرج من نقطة د الى تقبيب الدائرة خطى ده دز ونجعل خط ده اقرب الى خط دج من خط دز فاقول ان خط ده اصغر من خط دز برهانه انا نخرج خطى ده دز الى اخمص الدائرة فليخرجا الى نقطتى اح ونطلب مركز الدائرة وهو نقطة ط ونخرج من نقطة ط عمودى طڪ طل ونصل بين نقطتى طه ونقطتى طز بخطى طه طز فمن اجل ان زاوية دهط خارج مثلث هڪط وزاوية هڪط قائمة فان بحسب برهان يو من ا تكون زاوية دهط اعظم من زاوية هڪط فزاوية دهط اذن منقرجة وكذلك يتبين ان زاوية دزط منفرجة فمثلثا دهط دزط منفرجا الزاوية وكل زاوية منفرجة فان مربع الضلع الذى يوتر الزاوية المنفرجة مساو لمجموع المربعين الكائنين من الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة مع ضعف السطح الذى يحيط به احد الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة الذى يقع على استقامة العمود والخط الذى بين العمود وطرف الزاوية المنفرجة وذلك بحسب برهان يب من ب فالمربعان الكائنان من ضلعى ده هط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ مساو لمربع خط دط وكذلك مجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمربع خط دط فمجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمجموع مربعى خطى ده هط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ فمن اجل ان هڪ مساو لخط ڪا وخط زل مساو لخط لح وذلك بحسب برهان ج من ج فانه بحسب برهان ا من ب يكون ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ مساويا للسطح الذى يحيط به خطا ده ها وكذلك ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو للسطح الذى يحيط به خطا دز زح فالسطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حز زد مع المربع الكائن من خط دز لكن بحسب برهان ج من ب فان السطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد ده وكذلك السطح الذى يحيط به خطا حز زد مع المربع الكائن من خط دز مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز فالسطح اذن الذى يحيط به خطا اد ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز وقد بينا ان خط اد اعظم من خط حد لانه اقرب الى المركز فخط ده اذن اصغر من خط دز وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 10: III 9] الشكل التاسع من المقالة الثالثة

Bogga 40

كل نقطة فى داخل دائرة يخرج منها الى الخط المحيط بالدائرة اكثر من خطين وتكون كلها متساوية فان تلك النقطة مركز لتلك الدائرة. مثاله ان فى داخل دائرة اب نقطة ج وقد خرج منها الى الخط المحيط بالدائرة اكثر من خطين وهى كلها متساوية وهى خطوط جب جد جه فاقول ان [نقطة] ج مركز لدائرة اب برهانه انا نخرج خطى بد ده ونقسم كل واحد منهما بنصفين على نقطتى زح ونخرج خطى جز جح وننفذهما فى الجهتين جميعا الى محيط الدائرة وهما خطا اط ڪم فمن اجل ان خط بز فصلناه مساويا لخط زد فاذا اخذنا زج مشتركا فان خطى جز زب مساويان لخطى جز زد وقاعدة جب مساوية لقاعدة جد فان بحسب برهان ح من ا فان زاوية جزب مساوية لزاوية جزد وكل واحدة منهما اذا قائمة فبحسب ما تبين فى وجود مركز الدائرة انه متى قسم خط بد بنصفين واخرج مثل خط اط عمودا على خط بد فان على خط اط يكون مركز الدائرة فمركز الدائرة اذا على خط اط وبمثل هذا البرهان وهذا الاستشهاد يتبين ان مركز الدائرة على خط ڪم فمن الظاهر ان المركز على النقطة التى عليها تقاطع خطا اط ڪم فمركز الدائرة على نقطة ج فنقطة ج اذن مركز للدائرة وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 11: III 10] الشكل العاشر من المقالة الثالثة

Bogga 42

لا يمكن ان تقاطع دائرة دائرة اخرى على اكثر من موضعين فان امكن فلتقاطع دائرة اب دائرة جد على اكثر من علامتين وليكن على علامات ه ز ح ونخرج خطى هز زح ونقسم كل واحد منهما بنصفين على نقطتى ڪ ل ونجيز على نقطتى ڪ ل خطى اب جد يقطعان خطى هز زح على زوايا قائمة بحسب ما بين ببرهان يا من ا فمن اجل ان خط زح فى دائرتى اب جد وقد قسم بنصفين على علامة ل واخرج عليه خط الب على زاوية قائمة فبحسب ما بينا فى برهان ط من ج فان مركز دائرتى اب جد على خط اب. وايضا فان خط هز وقع فى دائرتى اب جد وقد قسم بنصفين على نقطة ڪ واخراج خط جڪد على زوايا قائمة على خط هز فمركز دائرتى اب جد على خط جڪد فمركز الدائرتين على خطى اب جد فهما اذن على الفصل المشترك للخطين فهما على نقطة ن فنقطة ن مركز لدائرتى اب جد وقد تبين ببرهان ه من ج ان كل دائرتين تتقاطعان فليس مراكزهما بواحد فليس يمكن ان تقاطع دائرة دائرة الا فى موضعين وذلك ما اردنا ان نبين.

قال ايرن نبين هذا بالشكل التاسع فنقول ان امكن ان تقاطع دائرة دائرة على اكثر من علامتين فلتقاطع دائرة ابجد دائرة بجهز على اكثر من علامتين اعنى على علامات ب ج ه ز ونستخرج مركز دائرة ابجد كما بين اخراجه ببرهان ا من ج و[نفرضه] على علامة ط ونخرج خطوط ط ب طج طه فمن اجل ان نقطة ط مركز ابجد فان خطوط ط[ب] طج طه تكون متساوية ولان نقطة ط داخل دائرة بجهز وقد خرج منها الى محيطها خطوط متساوية اكثر [من] خطين فبحسب برهان ط من ج تكون نقطة ط مركزا لدائرة بجهز وهى ايضا مركز لدائرة ابجد فدائرتان [ت]قاطعان مركزاهما نقطة واحدة هذا خلف لانا قد بينا ببرهان ه من ج ان هذا غير ممكن وذلك ما ردنا ان نبين.

[chapter 12: III 11] الشكل الحادى عشر من المقالة الثالثة

Bogga 44

كل دائرتين تماسان فالخط الذى يجوز على مركزيهما يقع حيث تتماسان مثاله ان دائرتى اب اج تتماسان على نقطة ا و مركز دائرة اب نقطة ه ومركز دائرة اج نقطة ن فاقول ان الخط المستقيم الذى يجوز على نقطتى هن يقع على نقطة ا لا يمكن غيره فان امكن ان يجوز على مركزيهما ويقع على غير نقطة التماس فليقع كخط هزحط ونخرج خطى اه از فبحسب برهان ڪ من ا يكون ضلعا از زه مجموعين اعظم من ضلع اه لكن خط از مساو لخط زح لانهما خرجا من المركز الى المحيط ونجعل خط هز مشتركا فخط هح اذن اعظم من خط ها وخط ها مثل خط هط لانهما خرجا من المركز الى المحيط فخط هح اذن اعظم من خط هط الاصغر اعظم من الاعظم هذا محال فقد ظهر ان الخط الذى يجوز على نقطتى هن ليس يقع على موضع اخر غير نقطة ا وذلك ما اردنا نبين. قال ايرن ان الرياضى فرض فى هذا الشكل الدائرتين متماستين من داخل فنبين نحن ذلك وان كانت المماسة من خارج فلنفرض دائرتى اب جد تتماسان على نقطة ج وليكن مركز دائرة اب نقطة ن ومركز دائرة جد نقطة ه فاقول ان الخط المستقيم الذى يجوز على نقطتى هن يمر بنقطة ج برهانه انه لا يمكن غيره فان امكن فليكن الخط الذى يمر بنقطتى هن لا يجوز على نقطة ج ولكن ليمر بموضع اخر كخط زطڪح ونخرج خطى جز جح فيحدث مثلث جزح فبحسب برهان ڪ من ا يكون ضلعا زج جح مجموعين اعظم من ضلع زح لكن خط جح مساو لخط حڪ وخط زط مساو لخط زج فمجموع خطى زج جح مساو لمجوع خطى حڪ زط فاذن مجموع خطى حڪ زط اعظم من خط زح الاصغر اعظم من الاعظم هذا محال فالخط المستقيم اذن الذى يجوز على نقطتى هن اللتين هما المركزان ليس يمكن ان يجوز على موضع من المواصع الا على نقطة ج الموضع الذى عليه تماس الدائرتان و ذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 13: III 12] الشكل الثانى عشر من المقالة الثالثة

Bogga 48

لا تماس دائرة دائرة اخرى على اكثر من علامة واحدة من داخل كانت المماسة او من خارج فان امكن ان تتماس دائرتان على اكثر من علامة واحدة فلتتماس اما من داخل فدائرتا اب جد على نقطتى ج د واما من خارج فدائرتا اب طح على نقطتى ا ب فلنبرهن على اللتين قد تماستا من داخل فننزل ان مركز دائرة اب نقطة ه ومركز دائرة جد نقطة ز فالخط الذى يجوز على نقطتى هز بحسب ما قد تبين ببرهان يا من ج يقع حيث تتماس الدائرتان فلتكن كخط جهزد فمن اجل ان نقطة ه مركز لدائرة [اب] وقد خرج منها الى المحيط خطا هج هد فهما متساويان فخط هج اذن اعظم من زد فخط جز اذن اعظم من زد بكثير وايضا فانا فرضنا نقطة ز مركزا لدائرة جد فخط زج مساو [لخط] زد فخط زج الاعظم اذن مساو لخط زد الاصغر هذا خلف غير ممكن فليس يمكن ان تماس دائرة دائرة الا على نقطة واحدة وهذا اذا كانت المماسة من داخل ونبين ايضا انه ولا اذا كانت المماسة من خارج يمكن ان تتماسا الا على نقطة واحدة برهانه انه ان امكن ان تماس دائرة اب دائرة حط على اكثر من نقطة فلتتماسا على نقطتى ا ب فمن اجل ان على محيط دائرة اب نقطتى اب فمن الظاهر بحسب برهان ب من ج ان الخط المستقيم الذى يصل بين نقطتى ا ب يقع داخل دائرة اب فليقع كخط اب ومن اجل ان على محيط دائرة حط نقطتى ا ب فبحسب برهان ب من ج فان الخط المستقيم الذى يصل بينهما يقع داخل دائرة حط وقد وقع خارجا منها هذا خلف غير ممكن فليس تتماس دائرتان من خارج الا على نقطة وذلك ما اردنا ان نبين.

Bogga 50

قال ايرن نقدم مقدمة يحتاج اليها فى الشكل الثانى عشر خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين فان امكن فليقطع خط اج المستقيم دائرة داج على اكثر من علامتين اعنى على علامات ا ب ج ونستخرج مركز الدائرة كما بين استخراجه ببرهان ا من ج وليكن نقطة ه ونصل خطوط ها هب هج فمن اجل ان خط ابج خط واحد مستقيم وزاوية هبا خارج مثلث ه ب ج فان بحسب برهان يو من ا تكون زاوية هبا اعظم من زاوية هجب لكن زاوية هبا مساوية لزاوية هاب وذلك بين بحسب برهان ه من ا فزاوية هاب اذن اعظم من زاوية هجب لان ضلع هج مساو لضلع ها فانه بحسب [برهان] ه من ا تكون زاوية هاب مساوية لزاوية هجب وقد كانت اعظم منها هذا خلف غير ممكن فاذن خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين وذلك ما اردنا ان نبين. فان قال قائل ان مركز الدائرة يمكن ان يكون على خط اب فعند ذلك نقول انه ان امكن فليكن على علامة ز فمن اجل ان علامة ز مركز دائرة اب جد فان خط از مساو لخط زب وايضا فان خط زا مساو لخط زبج فخط زبج اذن مساو لخط زب فاذن خط جبز الاعظم مساو لخط زب الاصغر وذلك غير ممكن فاذن خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين وذلك ما اردنا ان نبين.

Bogga 52

قال ايرن ايضا فى الشكل الثانى عشر ان امكن ان تتماس دائرتان على اكثر من علامة واحدة فلتتماس دائرتا ابجد اهجز من داخل على اكثر من علامة اعنى على علامتى ا ج ولنستخرج مركز دايرة اهجز كما بين اخراجه ببرهان ا من ج وليكن نقطة ح ومركز دائرة ابجد وننزل انه خارج دائرة اهجز على علامة ط فنقول ان المركز لا يقع خارجا فان امكن فانا نصل بين نقطتى حط اللتين هما المركزان بخط حط فمن البين بحسب برهان يا من ج ان خط حط اذا اخرج فى جهتيه جميعا فانه يجوز على مواضع المماسة فهو اذن يحوز على نقطتى ا ج فلنخرجه فيصير اذن وضع هذا الخط كوضع خط احزطج فخط احزطج يقطع دائرة اهجز على اكثر من علامتين وقد بينا ان ذلك غير ممكن فليس يقع [مر]كز دائرة ابجد خارج دائرة اهجز وبمثل هذا نبين انه لا يقع على قوس ازج فان [امكن] فليكن مثل نقطة ز فخط احزج خط واحد مستقيم يقطع محيط دائرة اهجز على اكثر من علامتين اعنى على علامات ا ز ج وذلك غير ممكن فغير ممكن اذن ان يقع مركز دائرة ابجد على محيط دائرة اهزج وقد كنا بينا انه لا يقع ايضا خارجها فاذن يقع داخلها كما قال الرياضى وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 14: III 13] الشكل الثالث عشر من المقالة الثالثة

Bogga 54

الخطوط المتساوية فى دائرة فان بعدها من المركز متساو والخطوط التى بعدها من المركز متساو هى متساوية مثاله انه وقع فى دائرة اب خطا جد هز وهما متساويان فاقول ان بعدهما من المركز متساو برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بين اخراجه ببرهان ا من ج وليكن نقطة ح ونخرج خطوط حج حد حه حز ونخرج من نقطة ح الى خطى جد هز عمودى حط حڪ كما بين اخراجها ببرهان يب من ا فمن اجل انه وقع فى دائرة اب خطا جد هز وقد خرج من المركز اليهما عمودا حط حڪ فبين ببرهان ج من ج انهما يقطعان خطى جد هز بنصفين فخط طج مثل خط طد وهڪ مثل ڪز فمن اجل ان ضلع حج مثل ضلع حه وضلع دج مثل ضلع زه وقاعدة حد مساوية لقاعدة حز فانه بحسب برهان ح من ا تكون زاوية دجح مساوية لزاوية زهح ومن اجل ان خط جد مثل خط هز فان ايضا فهما متساوية فخط جط اذن مساو لخط هڪ وحج مثل حه وقد تبين ان زاوية طجح مساوية لزاوية حهڪ فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة حط مساوية لقاعدة حڪ وهما عمودان على خطى جد هز فهما اذن بعدا خطى جد هز من نقطة ح التى هى مركز دائرة اب فبعدا خطى جد هز من المركز متساويان وذلك ما اردنا ان نبين. واقول ايضا اذا كان بعد خطى جد هز من المركز بعدا متساويا فانهما متساويان. برهانه من اجل ان الابعاد التى للخطوط من المركز هى اعمدة على الخطوط وخطا حط حڪ قد خرجا من المركز وهما عمودان على خطى جد هز فهما اذن البعدان وهما متساويان فمن اجل ان خطى حط حڪ خرجا من نقطة ح التى هى المركز الى خطى ج د هز وقطعاهما على زوايا قائمة فبحسب برهان ج من ج فان كل واحد منهما يقطع خطى جد هز بنصفين على نقطتى طڪ فخط دج مثلا خط جط وخط زه مثلا خط ڪه فلان زاويتى حطج حڪه كل واحدة منهما قائمة فان بحسب برهان مو من ا يكون مجموع مربعى خطى جط طح مساويا لمربع خط حج وكذلك مجموع مربعى خطى حڪ ڪه مساو لمربع خط حه ولان خطى حج حه متساويان لانهما خرجا من المركز الى المحيط يكون مجموع مربعى خطى حط طج مساويا لمجموع مربعى خطى حڪ ڪه لكن مربع خط حط مساو لمربع خط حڪ فاذا اسقطناهما بقى مربع خط طج مساويا لمربع خط ڪه فخط طج اذن مساو لخط ڪه وكنا بينا ان خط دج ضعف خط طج وخط زه ضعف خط ڪه فالاشياء التى هى اضعاف متساوية لاشياء متساوية فهى متساوية فخط دج اذن مساو لخط زه وذلك ما اردنا ان نبين.

Bogga 56

اما زيادة ايرن فى هذا الشكل فانه بين ان مركز الدائرة يقع بين خطى هز جد ورسم لذلك صورة دائرة ابجد واخرج فيها خطى ابجد وهما متساويان فقال ان مركز هذه الدائرة يقع بين خطى ابجد لا يمكن غيره فان امكن فليقع اولا على خطى اب جد فننزل انه قد وقع على خط جد على نقطة ه ونخرج خطى ها هب فمن اجل ان نقطة ه مركز فان خط اه مساو لخط هد وخط به مساو لخط هج لكن بحسب برهان ڪ من ا فان مجموع خطى اه هب كخط واحد اعظم من خط اب فخط جد اذن اعظم من خط اب وكنا فرضناهما متساويين هذا خلف وبمثل هذا يتبين انه ولا يمكن ان يقع على خط اب فاذن ليس مركز دائرة اب جد على احد خطى اب جد فاقول ايضا انه ولا خارجا عن احد خطى اب جد فان امكن فليكن خارجا عن خط جد وننز[ل ان]ه نقطة ز ونخرج خطوط زد زج زا (زا) زب فمن اجل ان نقطة ز مركز الدائرة فان الخطوط الخارجة منها الى المحيط متساوية فخطا زا زب مثل خطى زد زج وقاعدة اب مساوية لقاعدة دج فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية ازب مساوية لزاوية دزج الاصغر مساوية للاعظم هذا خلف وبمثل هذا البرهان يتبين انه غير ممكن ان يقع ايضا خارج خط اب فقد تبين ان مركز دائرة اب جد ليس يقع الا فيما بين خطى اب جد وذلك ما اردنا ان نبين. وبين ايضا ايرن ان مركز دائرة ابجد يقع بين خطى ابجد المتساويين بغير طريق الخلف فقال ليس يخلو من ان يكون خطا اب جد متوازيين او غير متوازيين فلننزل انهما متوازيان اولا ونصل بين خطى ابدج بخطى اج دب فالزوايا المتبادلة اذن متساوية فزاوية ا مساوية لزاوية ج وزاوية د مساوية لزاوية ب وقاعدة اٮ مساوية لقاعدة دج فبحسب برهان كو من ا يكون ضلع اه مساويا لضلع هج وضلع هج مساويا لضلع هد فخطا اج بد تقاطعا على انصافهما على نقطة ه فبين ببرهان د من ج ان مركز الدائرة على خطى اج بد فالمركز اذن نقطة ه وذلك وذلك ما اردنا ان نبين. وننزل ايضا ان خطى اب جد غير متوازيين ونخرجهما على استقامة حتى يلتقيا فليلتقيا على نقطة ه ونخرج خطى اج بد يتقاطعان على نقطة ز ونخرج خط هزح فاقول ان مركز الدائرة على خط هح برهانه من اجل ان زاوية باج مساوية لزاوية بدج لانهما فى قطعة واحدة وتوترهما قوس واحدة وهى قوس بدج ومثل هذه الاشكال يستشهد بها وان كانت مرسومة من بعد لانه ليس فيها مقدمات تتلو هذا الشكل ولا هذا الشكل من الاوائل لذلك الشكل لكن اوائل ذلك الشكل ماخوذة من المقالة الاولى ومن الشكل الاول من هذه المقالة فمن احل ذلك لما احتاج ايرن الى حل هذه الشكوڪ جعل الشكل العشرين من هذه المقالة اولا لهذا الشكل الثالث عشر فقال من اجل ان زاوية باج مساوية لزاوية بدج وزاوية ابد مساوية لزاوية اجد لانهما ايضا فى قطعة ابجد وتوترهما قوس واحدة وهى قوس اد وضلع اب مساو لضلع جد فانه بحسب برهان ڪو من ا يكون خط از مساويا لخط زد وايضا من اجل ان زاوية دبج مساوية لزاوية اجب لانهما فى قطعة دجب وتوترهما قوسا دج اب المتساويان وقد تبين ان زاوية دجا مثل زاوية دبا فان زاوية دجب باسرها مساوية لزاوية ابج باسرها فاذن بحسب برهان و من ا يكون مثلث هجب متساوى الساقين ساق هج مثل ساق هب وقد فرضنا دج مثل اب فيكون هد الٮاقى مثل ها وايضا من اجل ان زاوية هاج مساوية لزاوية هدب وذلك بحسب برهان لب من ا وضلعا هد دز مثل ضلعى ها از فبحسب برهان د من ا تكون زاوية دهز مساوية لزاوية اهز فخط هب اذن مساو لخط هج وزاوية بهط قد تبين انها مساوية لزاوية [جهط] وناخذ خط هط مشتركا وضلعا جه هط مساويان لضلعى به هط وزاوية [ج]هط مساوية لزاوية بجط فقاعدة بط مساوية لقاعدة جط وزاوية هطب مساوية لزاوية هطج فهما اذن قائمتان فخط بج قد وقع فى دائرة ابجد وقد جاز عليه خط هط وقسمه بنصفين وعلى زوايا قائمة فبحسب برهان ج من ج فان على خط هز يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين. وقال ايضا فان قال قائل ان الخطين المتساويين يتقاطعان داخل دائرة اب جد على علامة ه كخطى اج بد (المشترڪ) فانا نقول ان المركز لا يخلو من ان يكون على تقاطع خطى اج بد المشترڪ لهما اعنى علامة ه او على غيرها فان وقع على علامة ه فهو اذن بين خطى اج بد وقد انحل المطلب وقد بينا انه لا يقع على احد خطى اب جد فان قال قائل انا نفرض خطى اب جد غير متقاطعين فى داخل دائرة ابجد لكن متلاقيين على محيطها كخطى اب اد فانا نبين ان مركز دائرة ابجد بين خطى اب اد ونخرج خط بد ونقسمه بنصفين على علامة ه ونخرج اه ونخرجه الى محيط الدائرة الى نقطة ح فاقول ان مركز الدائرة على خط اج برهانه ان مثلث ابد متساوى الساقين فبحسب برهان ه من ا تكون زاوية ابد مساوية لزاوية ادب وكنا فرضنا خط اب مثل خط اد وفصلنا به مثل هد فضلعا اد ده مثل ضلعى اب به وزاوية ب مثل زاوية د فمثلث اهد مثل مثلث ابه وزاوية اهب مثل زاوية اهد فقد جاز خط اج على خط بد وقسمه بنصفين على نقطة ه وعلى زوايا قائمة فبحسب برهان ج من ج فانه على خط اج يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 15: III 14] الشكل الرابع عشر من المقالة الثالثة

Bogga 64

الخطوط المستقيمة الواقعة فى دائرة اعظمها قطر الدائرة والباقية فما كان منها اقرب الى المركز فهو اعظم مما بعد عنه مثاله ان دائرة اب وقع فيها خطوط جد هز حط وخط جد قطر الدائرة وخط هز اقرب الى المركز من خط حط فاقول ان اعظمها خط جد وخط هز اعظم من خط حط برهانه انا ننزل ان المركز نقطة ڪ ونخرج منها الى خطى هز حط عمودى ڪل ڪم كما بينا اخراجهما ببرهان يب من ا فمن اجل ان خط هز اقرب الى المركز من خط حط فان عمود ڪم اعظم من عمود ڪل فنفصل من خط ڪم مثل خط ڪل كما بين ببرهان ب من ا وليكن خط ڪن ونجيز على نقطة ن خط سنع موازيا لخط طح كما بين ببرهان لا من ا فخط ڪن عمود على خط سع واذا كانت ابعاد الخطوط من المركز متساوية فان الاعمدة التى تخرج الى الخطوط من المركز تكون متساوية واذا كانت الاعمدة متساوية فان الخطوط متساوية فخط هز مساو لخط سع ونخرج خطوط ڪس ڪع ڪح ڪط فمن اجل ان كل مثلث فان كل ضلعين من اضلاعه مجموعين كخط واحد اعظم من الضلع الثالث وذلك بين ببرهان ك من ا [ف]ضلعا ڪس ڪع مجموعين كخط واحد اعظم من خط سع لكن خط ڪس مساو لخط ڪج وخط ڪع مساو لخط ڪد فخطا ڪس ڪع كخط واحد مساو لقطر الدائرة الذى هو خط جد فخط جد اذن اعظم من خط سع لكن خط سع مساو لخط هز فخط جد الذى هو القطر اعظم من خط هز وايضا فمن اجل ان خطى ڪس ڪع مساويان لخطى ڪح ڪط لانهما خارجة من المركز الى المحيط وزاوية سڪع اعظم من زاوية حڪط فببرهان ڪد من ا تكون قاعدة سع اعظم من قاعدة حط لكن خط سع مساو لخط هز فخط هز الاقرب الى المركز اعظم من خط طح الابعد عنه وقد بينا ان قطر الدائرة وهو جد اعظم من خط هز فقد ظهر انه اذا وقع فى دائرة خطوط مستقيمة فاعظمها قطر الدائرة والباقية فما قرب منهما من مركز الدائرة اعظم مما بعد عنه وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 16: III 15] الشكل الخامس عشر من المقالة الثالثة

Bogga 66