وبهذه الرمزية الساذجة، برهن الفيثاغوريون على نظريات حسابية. فمن المعروف مثلا أن مجموع الأعداد الفردية حتى (2ن − 1) يساوي ن

2 ، أثبت المحدثون ذلك باستخدام التدوين الجبري، فكتبوا المتتالية:

1 + 3 + 5 + + (2ن − 3) + (2ن − 1).

ثم كتبوها هي نفسها بالعكس، كل حد تحت السابق: (2ن − 1) + (2ن − 3) + 5 + 3 + 1

والمجموع يعادل 2ن

2 ، لأن كل حد يساوي 2ن، وعدد الحدود «ن»، لأن المدى بينها يساوي «ن» إذا كان هو ذاته مساويا 2ن − 1. فإذا كان المجموع 2ن

2 ، فإن كلا من المتتاليتين تساوي ن

2 .

9

ومن هذا ينتج أن مجموع الأعداد الفردية المتوالية يعطي المربعات المتوالية.

Bog aan la aqoon