35 = 5 × 7,

180 = 2 × 2 × 3 × 3 ×5,

106260 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 11 ×23.

لقد اكتشف التحليل إلى العوامل في القرن الرابع قبل الميلاد على يد إقليدس الذي أثبت أنه ينطبق على جميع أعداد العد، وأوضح البرهان في الجزء التاسع من كتابه «العناصر». وحقيقة أن التحليل الفريد ينطبق على جميع أعداد العد، هي عنصر مهم في العديد من البراهين الأخرى، وهي تعرف اليوم باسم «المبرهنة الأساسية في الحساب».

للوهلة الأولى، يبدو أنه ما من سبب ينبغي أن يمنع كوشي ولاميه من الاعتماد على التحليل الفريد مثلما فعل المئات من علماء الرياضيات من قبلهما. غير أن برهانيهما كانا يتضمنان الأعداد التخيلية للأسف. وبالرغم من أن التحليل الفريد ينطبق على جميع الأعداد الحقيقية، فقد أوضح كومر أنه لا ينطبق بالضرورة مع وجود الأعداد التخيلية. وقد كان ذلك عيبا فادحا في رأيه.

ذلك أننا إذا اقتصرنا على استخدام الأعداد الحقيقية، فإن العدد 12 لا يمكن تحليله إلا إلى 2 × 2 × 3. أما عند استخدام الأعداد التخيلية في البرهان، فسوف يمكن تحليل العدد 12 على النحو التالي أيضا:

وفي هذا المثال، نجد أن (1 + ) عدد مركب، أي: توليفة من الأعداد الحقيقية والتخيلية. وبالرغم من أن عملية الضرب أكثر تعقيدا مما هي عليه في حالة الأعداد العادية، فإن وجود الأعداد المركبة يؤدي إلى وجود طرق إضافية لتحليل العدد 12. فمن الطرق الأخرى لتحليل العدد 12: (2 + ) × (2 − ). فلم يعد ثمة تحليل فريد، بل اختيار من ضمن طرق متعددة للتحليل.

إن فقدان التحليل الفريد قد أضر ببرهاني كوشي ولاميه إضرارا كبيرا، لكنه لم يحطمهما تماما بالضرورة. لقد كان من المفترض أنهما يثبتان عدم وجود حلول للمعادلة ، حيث

n

تمثل أي عدد أكبر من 2. ومثلما ناقشنا سابقا في هذا الفصل، ليس على البرهان سوى أن يثبت الحالات التي تمثل فيها

Bog aan la aqoon