وتمثل هذه المعادلة مجموعة لا نهائية من المعادلات:

تساءل أويلر عما إذا كان بإمكانه إثبات عدم وجود حل لإحدى المعادلات، ثم استقراء النتيجة على جميع المعادلات المتبقية، بالطريقة نفسها التي أثبت بها صحة صيغته في جميع حالات الشبكات من خلال تعميمها بدءا من الحالة الأبسط، أي النقطة المفردة.

حظي أويلر بنقطة انطلاق جيدة في مهمته حين اكتشف تلميحا في ملاحظات فيرما المختصرة. فبالرغم من أنه لم يكتب برهانا للمبرهنة الأخيرة، فقد وصف في مكان آخر في نسخته من كتاب «أريثميتيكا»، برهانا غامضا للحالة المحددة حيث ، واستخدمه في برهان لمسألة مختلفة تماما. وبالرغم من أن هذه العملية الحسابية هي أكثر العمليات الحسابية التي كتبها اكتمالا، فإن التفاصيل هزيلة وغامضة، وينهي فيرما البرهان بقوله إن قلة الوقت والأوراق تمنعه من كتابة تفسير أوضح. وبالرغم من قلة التفاصيل في ملاحظات فيرما السريعة، فإنها توضح دون لبس شكلا محددا من البرهان بالتناقض، يعرف باسم «طريقة التناقص بلا نهاية».

ومن أجل إثبات عدم وجود حل للمعادلة ؛ بدأ فيرما بافتراض وجود حل افتراضي:

وبدراسة خصائص (

و

و )، استطاع فيرما أن يثبت أنه إذا كان لهذا الحل الافتراضي وجود بالفعل، فإن هذا سيعني وجود حل أصغر بالضرورة (

و

و ). وبدراسة هذا الحل الجديد، استطاع فيرما أن يثبت وجود حل أصغر (

و

Bog aan la aqoon