شكل 5-3: يتمتع السطح اللانهائي المغطى بالمربعات، بالتناظر الدوراني والانعكاسي والانتقالي أيضا.

إن تناظر الأسطح المغطاة بالمربعات، هو فكرة مباشرة نسبيا، غير أنها كغيرها من المفاهيم التي تبدو بسيطة، تنطوي على بعض الأمور الغامضة الكامنة فيها. ففي السبعينيات من القرن العشرين على سبيل المثال، بدأ الفيزيائي البريطاني وعالم الرياضيات الترفيهية، روجر بنروز، في اللهو بعض الشيء بقطع بلاط مختلفة على السطح نفسه. وفي نهاية المطاف، ميز شكلين مثيرين للاهتمام على نحو خاص، وهما الطائرة الورقية والسهم اللذان يظهران في الشكل

5-4 . وثمة طريقة واحدة يمكن استخدام كل من هذين الشكلين بمفرده بها؛ لتغطية سطح دون فجوات أو تشابك، لكنهما يمكن أن يستخدما معا لتشكيل مجموعة ثرية من الأنماط لتغطية السطح. يمكن التوفيق بين الطائرات الورقية والأسهم معا بعدد لا نهائي من الطرق، وبالرغم من أن الأنماط تبدو متشابهة، فإنها تختلف جميعا في التفاصيل. ويوضح الشكل

5-4

أحد الأنماط التي يمكن تشكيلها من الطائرات الورقية والأسهم.

ثمة سمة مميزة أخرى في بلاط بنروز (أي: الأنماط التي تشكلها قطع البلاط على غرار الطائرة الورقية والسهم) وهي أنها يمكن أن تتمتع بمستوى محدود للغاية من التناظر. فللوهلة الأولى، قد يبدو أن نمط التبليط الموضح في الشكل

5-4 ، سيتسم بالتناظر الانتقالي، غير أن أي محاولة لتحريك النمط بحيث يظل ثابتا بالفعل، تنتهي بالفشل. إن أنماط بلاط بنروز غير متناظرة على نحو خادع؛ ولهذا فهي تفتن علماء الرياضيات وقد أصبحت نقطة الانطلاق لمجال جديد بأكمله في الرياضيات.

ومن المثير للفضول أن بلاط بنروز كان له انعكاسات في العلوم المادية أيضا. فدائما ما كان علماء البلورات يعتقدون أنه لا بد من بناء البلورات استنادا إلى المبادئ الكامنة وراء التبليط بالمربعات؛ إذ تتسم بمستوى عال من التناظر الانتقالي. فمن الناحية النظرية، كان بناء البلورات يعتمد على تركيب يتمتع بدرجة عالية من الانتظام والتكرار. بالرغم من ذلك، ففي العام 1984، اكتشف العلماء بلورة معدنية تتكون من الألومنيوم والمنجنيز قد بنيت وفقا لمبادئ بنروز. وتصرفت فسيفساء الألومنيوم والمنجنيز على غرار الطائرات الورقية والأسهم، مكونة بذلك بلورة منتظمة تقريبا، لكنها ليست منتظمة تماما. وحديثا طورت شركة فرنسية إحدى بلورات بنروز إلى طبقة تغلف أواني القلي.

شكل 5-4: من خلال استخدام شكلين مختلفين من قطع البلاط: الطائرة الورقية والسهم، تمكن روجر بنروز من تغطية أحد الأسطح. بالرغم من ذلك، لا يتسم هذا السطح المغطى بالبلاط الذي شكله بنروز، بالتناظر الانتقالي.

وبالرغم من أن الشيء المذهل بشأن أسطح بنروز المغطاة بالبلاط هو درجة التناظر المحدودة التي تتسم بها، فإن الخاصية المثيرة للاهتمام بشأن الأشكال النمطية هو ما تتسم به من تناظر لا نهائي. إن الأشكال النمطية التي درسها تانياما وشيمورا، يمكن نقلها وتحويلها والتبديل بينها وعكسها وتدويرها بعدد لا نهائي من الطرق، غير أنها تظل ثابتة؛ مما يجعلها الأجسام الأكثر تناظرا في الرياضيات. حين درس العالم الموسوعي الفرنسي هنري بوانكاريه الأشكال النمطية في القرن التاسع عشر، واجه صعوبة كبيرة في تقبل ما تتسم به من تناظر هائل. فبعد أن درس نوعا محددا من الأشكال النمطية، وصف لزملائه كيف أنه كان يستيقظ كل صباح على مدى أسبوعين ليحاول أن يجد خطأ في حساباته. وفي اليوم الخامس عشر، أدرك أن الأشكال النمطية متناظرة بالفعل على نحو مفرط، وتقبل ذلك.

Bog aan la aqoon