30

سنقدم نسخة هنا من خط الأعداد، بدءا من الصفر الذي لم يكن موجودا لدى الإغريق؛ لأنه أمر غير مهم حتى هذه اللحظة:

إذا كانت اللانهائية الكبرى، غير متناهية الامتداد، تقع عند الطرف اللانهائي الأيمن لخط الأعداد، فإن اللانهائية الصغرى التي استخدمها زينون تقع في الفترة بين صفر وواحد التي من الواضح أنها محدودة تماما، وقد أوضح زينون أن هذه الفترة تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط المتوسطة، التي هي المتتابعة . والأكثر من ذلك (إن جاز التعبير) أن من الواضح أن لانهائية

لا تشمل في حقيقة الأمر النقاط بين صفر وواحد، حيث إنها لا تغفل فقط المتتابعات غير المنتهية المتقاربة مثل

إلخ، ولكن أيضا كل مجموعة الكسور غير المنتهية الأخرى ، حيث

عدد فردي. وعندما نأخذ في اعتبارنا أن كلا من هذه الكسور الأخيرة سوف يناظر المتتابعة الهندسية غير المنتهية الخاصة به عن طريق توسيع نطاق - على سبيل المثال: ، إلخ، يتضح أن الفترة المحدودة على خط الأعداد من صفر إلى واحد تحتوي في الواقع على عدد لا نهائي من المقادير اللانهائية. وأقل ما يقال عن ذلك إنه محير من الناحية الميتافيزيقية وغامض من الناحية الرياضية، فهل سيكتب ذلك على صورة

أو

أو ماذا؟

إلا أن الأمور ربما تسير نحو الأسوأ أو الأفضل؛ لأن جميع الأعداد المذكورة سلفا هي أعداد نسبية. وربما تعلم بالفعل أن الصفة «نسبية» مشتقة هنا من كلمة «نسبة» وأن عبارة «الأعداد النسبية» تشير إلى كل هذه الأعداد التي يمكن كتابتها؛ إما على صورة أعداد صحيحة، أو على صورة نسبة بين عددين صحيحين (أي: على صورة كسر). هذا مجرد توضيح، لكنه مهم. وربما كان اكتشاف أن ليست كل الأعداد نسبية صعب على الأقل من وجهة نظر الإغريق شأنه شأن مفارقات زينون. وربما كان اكتشافا مزعجا بالنسبة إلى «الأخوية الدينية الفيثاغورية» على وجه الخصوص. تذكر قناعات الفيثاغورسيين أن كل شيء هو نسبة أو كمية رياضية وأن لا وجود لشيء غير متناه حقا في هذا العالم (بما أن «النهاية

peras

Bog aan la aqoon