لا يمكن كتابته على صورة عدد عشري منته أو على صورة نسبة من الأعداد الصحيحة - كما لو كانت قد جرى اكتشافها حقا، وليس اختلاقها أو اقتراحها ثم إثبات صحتها. من المفترض أن أغلبنا سيميل إلى القول إن

عدد غير نسبي حتى لو أن أحدا لم يثبت من قبل أنه فعلا كذلك، أو على الأقل اتضح أن قول أي شيء آخر يعني الإحالة إلى نظرية معقدة جدا وغريبة، تتعلق بماهية الأعداد. لا شك أن القضية برمتها شائكة ومعقدة على نحو لا يمكن تصوره (وهذا هو أحد الأسباب التي تجعلنا نتحدث عنها في جمل مقتضبة)؛ وليس ذلك لأن المسألة مجردة فحسب، ولكن لأن كل شيء متعلق بها هو مفهوم مجرد - الوجود، الواقع، العدد، إلخ. ومع ذلك، تأمل للحظة عدد مستويات التجريد المتضمنة في الرياضيات نفسها . نجد في علم الحساب المفهوم المجرد للعدد، ثم نجد في علم الجبر المتغير الذي هو رمز أكثر تجريدا لعدد (أعداد) ما والدالة التي هي علاقة دقيقة، ولكنها مجردة بين نطاقات من المتغيرات، ثم هناك بالطبع مشتقات وتكاملات الدوال في مقرر الرياضيات الجامعي، ثم المعادلات التكاملية التي تتضمن دوال غير معروفة، ومجموعات الدوال الخاصة، والمعادلات التفاضلية، والدوال المركبة (وهي دوال الدوال)، والتكاملات المحددة التي يجري حسابها على صورة الفرق بين تكاملين، وهكذا وصولا إلى الطوبولوجيا وتحليل الموترات والأعداد المركبة والمستوى المركب والمرافقات المركبة للمصفوفات ... إلخ. وهكذا يصبح الموضوع برمته مثل برج شاهق من التجريدات وتجريدات التجريدات التي ربما كنت ستتظاهر أن كل شيء تعالجه هو شيء حقيقي وملموس، وإلا ستجد نفسك مذهولا لدرجة أنك لن تتمكن حتى من شحذ قلمك الرصاص، وبالتأكيد لن تستطيع إجراء أي عمليات رياضية.

النقاط الأكثر صلة بموضوعنا التي يمكن أن نستخلصها من هذا كله هي أن مسألة الواقع المطلق للكيانات الرياضية ليست شائكة فحسب، ولكنها مثيرة للجدل، وأن نظريات جي إف إل بي كانتور عن اللانهائية هي ما أثارت هذا الجدل من جديد في الرياضيات الحديثة، وأوجبت ضرورة الفصل فيها. وأن علماء الرياضيات الذين يميلون إلى النظر إلى الكميات والعلاقات الرياضية باعتبارها حقيقية من الناحية الميتافيزيقية يسمون في هذا الجدل «أتباع أفلاطون»،

20

وقد أصبح من الواضح الآن على الأقل سبب تسميتهم كذلك، ومن الممكن التطرق إلى هذه التسمية في وقت لاحق.

الجزء 2(ب)

أرسطو هو أول فيلسوف لم يكن من أتباع أفلاطون حقا. ومع ذلك، فإنه فيما يخص مفهوم الارتداد اللانهائي المنافي للمنطق لزينون الذي ساقه أرسطو ضد المفاهيم الميتافيزيقية لأفلاطون، كان من الغريب ومن دواعي المفارقة أن محاولة أرسطو هي أيضا المحاولة الأولى والأكثر أهمية من جانب الإغريق لتفنيد مفارقات زينون. وهذا يوجد بالأساس في الأجزاء الثالث والسادس والثامن من كتاب «الطبيعة» أو «الفيزياء»، والجزء التاسع من كتاب «ما وراء الطبيعة» أو «الميتافيزيقا»، اللذين تنتهي مناقشات زينون فيهما إلى أن له تأثيرا وخيما على أسلوب معالجة الرياضيات لمفهوم اللانهائية للألفي سنة القادمة. وفي الوقت نفسه، نجح أرسطو بالفعل في توضيح الصعوبات الأساسية في بعض مفارقات زينون على الأقل، ونجح كذلك في أن يطرح بوضوح ولأول مرة بعض التساؤلات المهمة حقا حول اللانهائية التي لم يحاول أحد - حتى أوائل القرن التاسع عشر - الإجابة عنها بطريقة دقيقة، مثل: «ما المقصود بالضبط حين نقول إن شيئا ما لا متناه أو غير محدود؟» و«ما نوعية الأشياء التي يمكننا أن نتساءل عما إذا كانت لا متناهية أم لا؟»

وفيما يخص الأسئلة المحورية، ربما تذكر ما اشتهر عن أرسطو من ولعه بالتقسيم والتصنيف؛ فهو حرفيا من أدخل «التحليل» في الفلسفة التحليلية. انظر - على سبيل المثال - هذا المقتطف من مناقشة التقسيم الثنائي في الجزء السادس من كتاب «الطبيعة»: «هناك مفهومان يسمى بموجبهما الطول والزمن وعموما أي شيء متصل بأنه «غير متناه»: إنها تسمى كذلك إما من حيث قابليتها للتقسيم وإما من حيث نهاياتها القصوى أو أطرافها [= الحجم].» وهو ما يعتبر المرة الأولى على الإطلاق التي يشير فيها أحد إلى وجود أكثر من معنى لمفهوم «اللامتناهي». أراد أرسطو بالأساس التمييز بين معنى قويا أو كميا، وهو ما يعني حرفيا حجما غير متناه أو طولا غير متناه أو مدة غير متناهية، ومعنى أضعف يتضمن قابلية التقسيم اللامتناهي لطول متناه. وحسبما يزعم، فإن التمييز الأهم يتضمن الزمن: «على الرغم من أنه لا يمكن لشيء في زمن متناه أن يتصل بأشياء غير متناهية كما، فإنه يمكنه الاتصال بأشياء غير متناهية من حيث قابلية التقسيم؛ لأنه طبقا لهذا المفهوم يصبح الزمن نفسه غير متناه أيضا.»

الاقتباسان الواردان أعلاه من إحدى الحجتين الأساسيتين اللتين ساقهما أرسطو ضد التقسيم الثنائي لزينون حسبما عرضناهما في الجزء 2(أ). الهدف من هذه الحجة على وجه الخصوص هو ما جاء في الفرضية (3): «في فترة زمنية محدودة». يرى أرسطو أنه إذا كان زينون قد مثل المسافة

على أنها مجموع عدد لا نهائي من المسافات الجزئية، فلا بد من تمثيل الزمن المخصص الذي يستغرقه اجتياز

Bog aan la aqoon