لا تتحقق إلا إذا كان .

أو إليك مثالا آخر يتطلب مزيدا من الانتباه؛ جميعنا يذكر الأرقام العشرية المتكررة، مثل كتابة

على صورة . هذا يعني أنه يمكنك توضيح أن الرقم العشري المتكرر مثل العدد

يساوي

بخطوتين فقط صحيحتين تماما. بعبارة أخرى: إذا كان ، فإن ؛ وعندئذ نطرح

من :

وسوف تحصل على ؛ ومن ثم . هل هذا معقول أم لا؟ يعتمد ذلك على كيفية معالجتنا للمتتابعة غير المنتهية « »، مثل إذا ما اخترنا افتراض وجود عدد ما أكبر من ، ولكن أصغر من . سيتضمن هذا العدد جزءا متناهي الصغر، وهو ما يعني حرفيا كيانا رياضيا صغيرا على نحو لا متناه. ومع ذلك، ربما لا تتذكر جيدا - لأن أحدا لم يخبرك بذلك على الأرجح - أن متناهيات الصغر جعلت أساسيات حساب التفاضل والتكامل متداعية للغاية ومثيرة للجدل على مدى 200 سنة، وذلك لنفس السبب تقريبا الذي جعل رياضيات كانتور للأعداد فوق المنتهية تقابل بهذا القدر من التشكيك في أواخر القرن التاسع عشر: ليس ثمة ما سبب مشاكل للرياضيات - من الناحية التاريخية، والمنهجية، والميتافيزيقية - أكثر من الكميات غير المنتهية. وبطرق شتى، يمثل تاريخ هذه المشاكل المرتبطة باللانهائية

هو قصة الرياضيات نفسها.

الجزء 1(د)

هذه المقدمة سريعة وعامة بالطبع. وتوجد بعض الاختلافات التي سوف تتكشف الآن عندما نبدأ في تناول اللانهائية من منظور أنها موضوع تاريخي. يتمثل الاختلاف الأول في الفرق الواضح بين اللامتناهي في الكبر (= فوق المنتهي أو اللامتناهي) ومتناهي الصغر (= المتناهي = ). والاختلاف الثاني الكبير هو بين اللانهائية بوصفها إحدى سمات العالم المادي - كما هو الحال في مسائل مثل هل الكون لا متناه، هل المادة لا متناهية التقسيم، هل الزمن له بداية أو نهاية - وبين اللانهائية بوصفها كيانا أو مفهوما رياضيا مجردا على غرار الدالة، والأعداد، ومبدأ الأولية، وهكذا. أجريت بالفعل بعض الأبحاث حول أنطولوجيا التجريد والمفاهيم المجردة، وما إذا كانت الكيانات الرياضية موجودة فعلا وكيفية وجودها، وهي موضوعات من الواضح أن ثمة الكثير من الجهود البحثية التي يمكن القيام بها لسبر أغوارها. أما الشيء المهم الذي ينبغي أن تضعه في اعتبارك دائما، فهو أن هذه المسائل الخلافية والجدلية بشأن اللانهائية التي سوف تظل محور اهتمامنا هنا إنما تنطوي على معرفة ما إذا كانت الكميات غير المنتهية يمكن أن توجد حقا في صورة كيانات رياضية.

Bog aan la aqoon