يرجى ملاحظة أن لفظة «الأولية» ليس لها علاقة بالعالم، ولكنها تعنى فقط بالعلاقات بين الأعداد. الإغريق هم المؤسسون الحقيقيون لما نسميه الرياضيات؛ لأنهم - مرة أخرى - أول من تعامل مع الأعداد وعلاقاتها كأفكار مجردة بدلا من كونها خصائص مجموعات من الأشياء الحقيقية. من المهم أن نرى ما مثله ذلك من قفزة كبيرة. بالنظر في سجل التاريخ القديم، أو ما يمكن أن نسميه «سجل الحفريات» إن جاز التعبير، يمكن أن نرى بسهولة أن الرياضيات لها منشؤها في الأساس. تأمل حقيقة أن الأعداد تسمى «أرقاما» وأن معظم نظم العد - ليس فقط النظم ذات الأساس 10، ولكن أيضا النظم ذات الأساس 5، والأساس 20 في أوروبا في عصور ما قبل التاريخ - مصممة بوضوح على أساس العد بأصابع اليدين والقدمين. أو أننا ما زلنا نتحدث عن «ساق» المثلث أو «وجه» متعدد الوجوه أو متعدد السطوح، أو أن «حساب التفاضل والتكامل» مشتق من الكلمة الإغريقية المرادفة لكلمة «حصاة»، وهكذا. من المعروف جيدا وجود حضارات سابقة على الحضارة الإغريقية، كما في حالة البابليين والمصريين، بدرجة بسيطة من التعقيد في مجال الرياضيات؛ ولكن الرياضيات لديهم كانت رياضيات عملية بقدر أكبر، وكانت تستخدم لأغراض المسح، والتجارة والمال، والملاحة، وغير ذلك. بعبارة أخرى، كان البابليون والمصريون مهتمين بالبرتقالات الخمس بدلا من 5. أما الإغريق، فإنهم هم الذين حولوا الرياضيات إلى نظام مجرد، لغة ذات رموز خاصة تسمح للأشخاص ليس فقط بوصف العالم المادي، ولكن أيضا بتفسير أعمق الأنماط والقوانين. ومن ثم، نحن مدينون لهم بكل شيء.

18

والأهم من ذلك أن إنجازات كيه فايرشتراس، وجي كانتور، وآر ديديكند في نظرية المجموعات والأعداد الحديثة يستحيل تقدير أهميتها دون فهم القفزة المتعددة الأبعاد من الرياضيات بوصفها تجريدا عمليا لخصائص العالم الحقيقي إلى الرياضيات بوصفها نظاما سوسوريا - نسبة إلى العالم فرديناند دي سوسور - «من الرموز ... مستقلا عن الأشياء المحددة بعينها.» وما كان من الممكن أيضا الوصول إلى تقدير حقيقي دون النظر كذلك في «الإسقاطات التي لا تحصى ...» التي أعقبت ذلك؛ لأن الرياضيات المجردة التي قضت على الخرافات والجهل واللامعقول، وأنتجت العالم الحديث هي أيضا الرياضيات المجردة المليئة باللامعقول والمفارقات والأحجيات، ولطالما حاولت دائما أن تحل القضايا الشائكة لديها على نحو متسرع وغير مدروس منذ بداية وضعها كلغة حقيقية. مرة أخرى، يرجى أن تأخذ في اعتبارك أن اللغة هي خريطة العالم كما أنها عالم خاص في حد ذاتها، لها دهاليزها وأخاديدها الخاصة، ويقصد بتلك الدهاليز والأخاديد المواضع التي تتضمن جملا تمتثل في ظاهرها لكل قواعد اللغة، ولكن يستحيل على الرغم من ذلك التعامل معها.

يمكن أن نفترض أن معظم عناصر اللغة الطبيعية مألوفة بالفعل، ولكن على سبيل التذكير فقط، انظر إلى المسافة (المستويات المتضمنة) بين استخدام لفظتي «شجرة» و«صخرة» لتحديد أشجار وصخور فعلية، وبين دلالات دبليو جيه كلينتون المريرة للفظتي

inhale «يدخن» أو

have sex «يمارس الجنس». أو حلل المفارقة المشهورة «أنا أكذب» (والإغريق هم من وضعوها أيضا). أو تأمل جملا مثل «عبارة «هراء لا معنى له» ليس لها معنى». أو «هل «إذا كانت الجملة تتبع الاقتباس الخاص بها مباشرة، تكون خطأ» تعني أنه «إذا كانت الجملة تتبع الاقتباس الخاص بها مباشرة تكون خطأ».» سوف تلاحظ أن هذه الجمل الثلاث الأخيرة، مثلها مثل أكثر المواضع تناقضا، تنطوي إما على إحالة ذاتية أو ارتداد لا نهائي، وكلاهما تأثيران سلبيان ابتليت بهما اللغة منذ زمن بعيد جدا.

الرياضيات ليست استثناء في ذلك. وبما أن الرياضيات لغة مجردة تماما، فإنها بالطبع لغة يفترض أن افتقارها إلى مرجعيات محددة في العالم الحقيقي يحقق لها أقصى درجات السلامة والاتساق، مفارقاتها وأحجياتها أكثر بكثير من مجرد مسألة. فالرياضيات ينبغي في الحقيقة أن تتعامل مع تلك المفارقات والأحجيات بدلا من مجرد تجاهلها عندما يزول المحفز. بعض المعضلات يمكن التعامل معها بالقواعد الرياضية الصحيحة، بحكم التعريف والاشتراط إن جاز التعبير.

19

مثال بسيط من مادة الجبر في المرحلة الثانوية: من منطلق الحقيقة غير القابلة للنقاش التي مفادها أن القواسم في معادلة من كسرين تكون متساوية إذا كان البسطان متساويين، أي إذا كان

فإن - سيبدو الأمر أنه إذا كان ، فإن ، أي ، وهو ما ليس صحيحا بكل تأكيد. يمكن معالجة هذا بافتراض أن الحل الوحيد الممكن ل ، هو (حيث إن قسمة الصفر على أي شيء يساوي الصفر نفسه، وهو ما لا يستتبع أن ) وباشتراط أن النظرية

Bog aan la aqoon