πr

2 ، وقرب نقطة مستقاة من مجموعة نقاط تكون شكل مكعب مجسم، يتناسب عدد النقاط مع 4 / 3

πr

3 . وفي كل حالة، يشير أس

r

إلى البعد في المجموعة؛ حيث يكون الأس 1 إذا كانت المجموعة تشكل خطا، و2 إذا كانت تشكل مسطحا، و3 إذا كانت تكون شكلا مجسما.

يمكن تطبيق هذا الأسلوب على مجموعات الأشكال الكسرية، على الرغم من أن الأشكال الكسرية تميل إلى امتلاك فراغات تسمى الفجوات، على جميع المقاييس. بينما لا يعد التعامل مع هذه العمليات الحسابية الخوارزمية الدقيقة أمرا هينا، يمكننا حساب بعد المجموعات ذات التشابه الذاتي المتطابق على نحو دقيق؛ فنلاحظ على الفور أن بعد أي شكل كسري لا يكون عادة رقما صحيحا. في إطار كون فورنييه، يبلغ البعد 0,7325 تقريبا (وهو ما يساوي

log 5/log 9 ) بينما يبلغ بعد مجموعة كانتور للأثلاث الوسطى 0,6309 تقريبا (وهو ما يساوي

log 2/log 3 ). في كل حالة، يساوي البعد رقما كسريا أكبر من صفر وأقل من واحد. اعتبر ماندلبروت مقطع

fract

Bog aan la aqoon