α

1,4 وقيمة

β

0,3، ويظهر الشكل (أ) شريحة من عنصر جذب نظام مور-شبيجل تولدت من خلال مزج لقطات من النظام متى كانت قيمة

z

تساوي صفرا وتزيد. ويطلق على هذا النوع من الأشكال «قسم بوانكاريه»، وهو يوضح كيف أن شرائح من أحد التدفقات تشبه كثيرا الخرائط.

معادلات التأخير والأوبئة والتشخيصات الطبية

ثمة مجموعة أخرى من النماذج الشائقة تتمثل في معادلات التأخير. هنا، تلعب الحالة الحالية وحالة ما في الماضي (حالة التأخير) دورا مباشرا في الديناميكيات. تشيع هذه النماذج في النظم البيولوجية، وقد تقدم استبصارا في الأمراض المتأرجحة مثل مرض سرطان الدم. في كمية الدم المتدفقة، يعتمد عدد الخلايا المتوافرة غدا على عدد الخلايا المتوافرة اليوم، وعلى عدد الخلايا الجديدة التي يكتمل نموها اليوم. يحدث التأخير من جراء فجوة زمنية بين وقت طلب هذه الخلايا الجديدة ووقت نضوجها، ويعتمد عدد الخلايا التي تنضج اليوم على عدد خلايا الدم في وقت ما في الماضي. ثمة أمراض أخرى كثيرة تتضمن هذه الديناميكية المتأرجحة، وتعتبر دراسة الفوضى في معادلات التأخير شائقة ومثمرة للغاية.

نترك الحديث عن النماذج الرياضية لفقرة واحدة لنشير إلى أن البحوث الطبية تمثل مجالا آخر تستخدم فيه الاستبصارات المستقاة من نماذجنا الرياضية في النظم الحقيقية. توصلت البحوث التي أجراها مايك ماكي في جامعة ماكجيل بالاشتراك مع آخرين حول معادلات التأخير إلى علاج مرض متأرجح واحد على الأقل، كما أفضت دراسة الديناميكيات اللاخطية أيضا إلى استبصارات في تطور الأمراض التي تتأرجح الإصابة بها في مجموعة سكانية معينة، وليس في فرد واحد. يمكن مقارنة نماذجنا مع الواقع في دراسة مرض الحصبة، حيث يمكن بحث الديناميكيات في الزمن والفضاء على نحو مثمر للغاية. كما أفضى تحليل السلاسل الزمنية الفوضوية أيضا إلى ظهور طرق خلاقة لرصد سلاسل زمنية طبية معقدة، بما في ذلك سلاسل الدماغ (تخطيط كهربائية الدماغ) والقلب (مخطط كهربائية القلب)، ولا يعني هذا أن تلك الظواهر الطبية في العالم الواقعي فوضوية، أو حتى توصف على النحو الأمثل من خلال نماذج فوضوية؛ إذ إن طرق التحليل المستخدمة في تحليل الفوضى قد تتضح قيمتها عمليا بصرف النظر عن طبيعة الديناميكيات الكامنة في النظم الواقعية التي تولد الإشارات التي يجري تحليلها.

الفوضى الهاملتونية

Bog aan la aqoon