ولأسباب ستتضح فيما بعد، سوف أفترض أن الثروة يمكن أن تتنوع بشكل مستمر، كذلك سوف أتيح كل الرهانات خلاف تلك التي قد تحول ثروتك إلى قيمة سالبة، مهما كان حجم الزيادة التي قد تضيفها هذه الرهانات إلى ثروتك (قد يجدر بنا الإشارة بشكل عارض إلى أن هذا يعني ضمنا أن هناك الكثير من الجوائز بشكل لا متناه).

اعتمادا على النظرية الموضحة في الفصل الثالث، يمكننا تعيين منفعة عددية لكل جائزة محتملة. وإذا اعتبرنا أنك تبدأ بمستوى معين للثروة، فإن هذا يماثل تعيين منفعة لكل مستوى من الثروة، أو تحديد «مخطط منفعة» للثروة. على سبيل المثال، قد يعين مخطط المنفعة الخاص بك لكل مستوى من الثروة (والتي يعبر عنها بآلاف الدولارات) الجذر التربيعي لذلك المستوى. في هذه الحالة سوف تعين، على سبيل المثال، منفعة قيمتها 2 لثروة قيمتها 4000 دولار (وسوف أشير إلى هذا المخطط بمخطط الجذر التربيعي). ويمكن توضيح مخطط المنفعة من خلال شكل بياني تقاس فيه ثروتك على المحور الأفقي، والمنفعة على المحور الرأسي. ومثل هذا المخطط (مخطط الجذر التربيعي في الواقع) موضح بالشكل.

إن الخط البياني هنا له خصائص متنوعة؛ الأولى: أنه ينحدر إلى أعلى. ولسوف أتبنى الافتراض الذي لا جدال فيه بأنك تفضل الثروة الأكبر على الثروة الأقل، والذي يضمن هذا بالطبع. الثانية: هي أن الخط البياني مقعر؛ بمعنى أن الخط الواصل بين أي نقطتين على الشكل يقع بالكامل أسفل الخط البياني. وسوف أناقش هذه الخاصية التي تعد مسألة ذات مغزى لاحقا. الخاصية الثالثة: هي أن الخط البياني متصل؛ أي ليس به قفزات. وهذه الخاصية تعد أحد التداعيات لكون الخط مقعرا؛ فإذا رسمت خطا بيانيا به قفزة، فسوف تستطيع أن ترسم بين نقطتين ما خطا لا يقع بالكامل أسفل الخط البياني.

وسوف أستغل جانبين من جوانب أي رهان؛ وهما: «قيمته المتوقعة» و«يقينه التقريبي». يتم إيجاد المنفعة المتوقعة لأي رهان بضرب كل جائزة في احتماليتها وجمع الأرقام الناتجة. على سبيل المثال، القيمة المتوقعة للرهان:

9000 دولار باحتمالية 0,2، و5000 دولار باحتمالية 0,5، و1000 دولار باحتمالية 0,3.

هي - بآلاف الدولارات - (9 × 0,2) + (5 × 0,5) + (1 × 0,3)، أو 4600 دولار (القيمة المتوقعة مشابهة للمنفعة المتوقعة، غير أن القيمة المتوقعة لا تكون منطقية إلا حيث تكون جميع الجوائز بنفس الوحدات، مثل الدولار. فلو لم تكن كذلك لما استطعنا، بشكل عام، ضربها في الاحتمالات ثم جمعها). ولسوف أصف أي رهان بأنه «عادل» إذا كانت قيمته المتوقعة صفرا، وإيجابي إذا كانت هذه القيمة موجبة، وسلبي إذا كانت القيمة سالبة (وكلمة عادل مستخدمة هنا بالمعنى المتعلق برياضيات التأمين، وليس لها أي وقع أخلاقي إضافي).

أما اليقين التقريبي للرهان فهو المبلغ الذي ستقبله محل الرهان، أو ما ستدفعه للحصول على الرهان. بمزيد من الدقة، إنه المبلغ المالي الذي لو ضمنت الحصول عليه لاعتبرته مساويا للرهان . من السهل أن ترى أن أي رهان له يقين تقريبي واحد فقط (لو لم نتح للثروة أن تتنوع بشكل مستمر، وإنما فقط بقدر تدريجي - لنقل دولارا واحدا - فقد لا يكون الأمر كذلك؛ فقد يكون الأمر أنك قد اعتبرت أن 1000 دولار أسوأ من رهان ما، بينما ال 1001 دولار أفضل منه).

ولتوضيح حساب اليقين التقريبي، افترض أن مخطط المنفعة الخاص بك هو مخطط الجذر التربيعي، وتأمل الرهان الذي إذا أقدمت عليه فسوف يؤدي إلى أن تكون ثروتك إما 9000 دولار، وفي هذه الحالة تكون المنفعة 3؛ وإما 1000 دولار، وفي هذه الحالة تكون المنفعة 1، كلاهما باحتمالية مساوية. المنفعة المتوقعة لهذا الرهان تساوي 2، واليقين التقريبي للرهان هو مستوى الثروة الذي تتساوى عنده منفعتك مع هذه المنفعة المتوقعة البالغة 2؛ أي 4000 دولار. وهذا موضح في الشكل البياني السابق؛ فالرهان يؤدي إلى أن تكون ثروتك إما عند (أ) وإما (ب)، ومنفعتك المتوقعة هي منفعتك عند النقطة (ج)، واليقين التقريبي هو ثروتك عند النقطة (د).

سوف أقول بأنك «متجنب للمخاطرة» فيما يتعلق برهان ما إذا كنت تفضل القيمة المتوقعة للرهان المضمون على الرهان ذاته. وعلى نحو مساو، تكون متجنبا للمخاطرة إذا كانت القيمة المتوقعة أكبر من اليقين التقريبي. وعلى العكس، أنت محب للمخاطرة إذا كنت تفضل الرهان على القيمة المتوقعة له، أو إذا كانت القيمة المتوقعة أكبر من اليقين التقريبي. والفارق بين القيمة المتوقعة واليقين التقريبي هو «علاوة المخاطرة» الخاصة بالرهان. والمنفعة المتوقعة التي حسبناها للتو، والتي سوف تؤدي إلى أن تكون ثروتك إما 9000 وإما 1000 دولار باحتمالية متساوية، تساوي 5000 دولار. وهكذا تكون علاوة المخاطرة 5000-4000 دولار؛ أي 1000 دولار. وهذا أيضا موضح في الشكل البياني؛ فالقيمة المتوقعة للرهان هي ثروتك عند النقطة (ج)، وعلاوة المخاطرة هي المسافة بين (ج) و(د).

يبدو واضحا أنك متجنب المخاطرة فيما يتعلق برهان ما إذا كانت علاوة المخاطرة الخاصة به موجبة، ومحب للمخاطرة إذا كانت سالبة. وسوف أصفك بأنك متجنب للمخاطرة (دون قيود) إذا كنت متجنبا للمخاطرة بالنسبة لجميع الرهانات، ومحب للمخاطرة إذا كنت محبا للمخاطرة بالنسبة لجميع الرهانات. ومن السهل أن ترى أنك متجنب للمخاطرة إذا كان الخط البياني لمخطط المنفعة مقعرا، ومحب للمخاطرة إذا كان هذا الخط محدبا (فالتحدب عكس التقعر).

Неизвестная страница