ولكن في خلال القرن التاسع عشر، نظر إلى الأمور نظرة عكسية، فأصبح المستقيم هو الذي ينظر إليه بوصفه مفهوما من وجهة النظر الجديدة هذه، وأصبحت النقطة «تعرف» بأنها تقاطع مستقيمين.
على أن هذا التحول ليس مجرد لهو ذهني؛ بل إن وجهة النظر المزدوجة هذه كانت نقطة بدء الأبحاث التي كونت ما يسمى بمبدأ الثنائية
principe de la dualité . فمثلا لو ألقينا نظرة على كتاب «ألفريد كلبش
Alfred Clebsch » المسمى «دروس في علم الهندسة
Leçons sur la géometrié »
5
لوجدنا الصفحات فيه مقسمة إلى عمودين ترتب فيهما النظريات بحيث تناظر كل منها الأخرى بدقة. ففي العمود الأيمن نجد النظريات معبرا عنها «بإحداثيات الخطوط»، حيث يكون المستقيم هو العنصر غير المعرف، وفي الأيسر نجد النظريات معبرا عنها «بإحداثيات النقط» حيث تكون النقطة هي العنصر غير المعرف. وفي ممارسة مثل هذه المتناظرات التي يلعب فيها الخيال دوره يكتسب التفكير الهندسي مرونة كبيرة.
وفضلا عن ذلك فإن المرء يستطيع أن يرى أن تعديل نقط البدء على هذا النحو يجعل الطابع العيني للمفاهيم ذا قيمة ثانوية. فالمفاهيم الرياضية لا تفرض علينا في تجربة عينية يكون لها أصل تجريبي؛ إذ قد يوحى إلينا العالم المحسوس بضروب من الحدس، غير أن هذه الضروب يجب أن يتم إعدادها في مستوى فكري لا يعود مدينا بشيء لحقائق العالم المحسوس. فالمفاهيم الرياضية لا تكتسب قيمتها إلا خلال التنظيم التجريدي الذي يدرس علاقاتها. وقد لاحظ «بوريل
Borel »
6
Неизвестная страница