والأكثر صرامة من علماء الرياضيات العاديين، هم علماء الرياضيات الذين يتخصصون في دراسة المنطق الرياضي. وقد بدأ علماء المنطق الرياضي في التشكيك في الأفكار التي اتخذها غيرهم من علماء الرياضيات من المسلمات على مدى قرون. فعلى سبيل المثال، ينص قانون الانقسام الثلاثي على أن الأعداد جميعها إما سالبة أو موجبة أو صفر. يبدو هذا واضحا، وقد افترض علماء الرياضيات ضمنيا أنه صحيح، لكن أحدا لم يعبأ قط بإثبات أن ذلك هو الصحيح فعليا. وقد أدرك علماء المنطق أن قانون الانقسام الثلاثي قد يكون خاطئا إلى أن يتوفر برهان على صحته، وإن اتضح أنه خاطئ بالفعل، فسوف ينهار صرح كامل من المعرفة، وسينهار كل شيء قد بني على هذا القانون. من حسن حظ علماء الرياضيات أن قانون الانقسام الثلاثي قد أثبتت صحته في نهاية القرن الماضي.

منذ عصر اليونانيين القدماء والرياضيات تراكم المزيد والمزيد من المبرهنات والحقائق، وبالرغم من أن معظمها قد أثبت بدقة، كان علماء الرياضيات قلقين من أن يكون بعضها قد تسلل دون أن يخضع للفحص الدقيق. فبعض الأفكار أصبحت جزءا من الثقافة الشعبية، ولا أحد متيقن في حقيقة الأمر من الكيفية التي أثبتت بها في الأصل، هذا إن كانت قد أثبتت بالفعل؛ ومن ثم قرر علماء المنطق إثبات جميع المبرهنات من المبادئ الأولى. بالرغم من ذلك، فقد كان لا بد من استنتاج هذه الحقائق من حقائق أخرى. وكان ينبغي إثبات تلك الحقائق بدورها من حقائق أخرى أكثر جوهرية، وهكذا دواليك. وفي نهاية المطاف، وجد علماء المنطق أنهم يتعاملون مع بضعة من الادعاءات الأساسية التي كانت جوهرية للغاية، حتى إنه لم يكن من الممكن إثباتها. وهذه الافتراضات الجوهرية هي مسلمات الرياضيات.

ومن أمثلة هذه المسلمات «قانون الإبدال في الجمع»، الذي ينص على أنه في حالة أي عددين

m

و

n :

تعد هذه المسلمة وذلك العدد القليل من المسلمات الأخرى أمورا بديهية، ويمكن اختبارها عن طريق تطبيقها على أعداد محددة. وقد اجتازت المسلمات حتى الآن جميع الاختبارات، وقبلت بصفتها الأساس للرياضيات. وتمثل التحدي الكامن أمام علماء المنطق في إعادة بناء الرياضيات من هذه المسلمات. وفي الملحق 8، نوضح مجموعة المسلمات الحسابية، ونقدم نبذة عن الطريقة التي بدأ بها علماء المنطق في مهمة إعادة بناء بقية الرياضيات.

شارك فيلق من علماء المنطق في العملية البطيئة الشاقة المتمثلة في إعادة بناء هيكل المعرفة الرياضية شديد التعقيد باستخدام الحد الأدنى من المسلمات. وكان الهدف من ذلك هو ترسيخ ما كان علماء الرياضيات يعتقدون أنهم يعرفونه بالفعل باستخدام معايير المنطق شديدة الصرامة فحسب. لخص عالم الرياضيات الألماني، هيرمان فايل، المزاج السائد في هذا العصر بقوله: «المنطق هو عادات النظافة الشخصية التي يمارسها عالم الرياضيات للحفاظ على أفكاره قوية وفي صحة جيدة.» وإضافة إلى تطهير ما كان معروفا، كان ثمة أمل بأن يلقي هذا النهج المعني بالأصول، بعض الضوء على المعضلات التي لم تحل بعد، ومنها مبرهنة فيرما الأخيرة.

لقد تصدر هذا البرنامج أبرز شخصيات ذلك العصر، ديفيد هيلبرت. كان هيلبرت يعتقد أنه يمكن إثبات كل شيء في الرياضيات بناء على هذه المسلمات الأساسية، وأن هذا هو ما ينبغي فعله. وسينتج عن هذا إثبات العنصرين الأهم في النظام الرياضي على نحو حاسم. أول هذين العنصرين هو أن الرياضيات ينبغي أن تكون قادرة على الإجابة عن جميع الأسئلة دون استثناء، وإن كان ذلك نظريا على الأقل، وذلك هو سمت الاكتمال نفسه الذي استلزم في الماضي ابتكار أعداد جديدة كالأعداد السالبة والأعداد التخيلية. وثاني هذين العنصرين هو أن الرياضيات يجب أن تكون خالية من أي تضارب، أي إنه إذا أثبتت صحة إحدى العبارات بطريقة ما، فلا يمكن إثبات خطأ العبارة نفسها باستخدام طريقة أخرى. لقد كان هيلبرت مقتنعا بأن افتراض عدد قليل فقط من المسلمات سيتيح إمكانية الإجابة عن أي سؤال رياضي يمكن تخيله دون خشية التناقض.

وفي الثامن من أغسطس عام 1900، ألقى هيلبرت خطبة تاريخية في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في باريس. طرح هيلبرت ثلاثا وعشرين مسألة رياضية لم تحل بعد كان يعتقد أنها ذات أهمية بالغة. كان بعض هذه المسائل يتعلق بمجالات عامة في الرياضيات، لكن أغلبها كان يركز على الأسس المنطقية للعلم. كان الهدف من هذه المسائل هو تركيز انتباه عالم الرياضيات عليها وتوفير برنامج للبحث. كان هيلبرت يرغب في تحفيز المجتمع الرياضي على مساعدته في تحقيق رؤيته لتأسيس نظام رياضي خال من الشك والتضارب، وهو الطموح الذي عبر عنه بنقش على شاهد قبره، يقول:

Неизвестная страница