بعد ذلك، فكر أويلر فيما سيحدث إذا أضاف شيئا إلى هذه الشبكة الأبسط على الإطلاق. فأي امتداد للنقطة الواحدة يستلزم إضافة خط. ويمكن لهذا الخط أن يربط النقطة الموجودة بالفعل بنفسها، أو يربطها بنقطة جديدة.

فلنتناول أولا وصل النقطة الواحدة بنفسها من خلال هذا الخط الإضافي. ومثلما يوضح الشكل

3-4 (ب)، سنجد أن إضافة هذا الخط تؤدي أيضا إلى تشكل منطقة جديدة. ومن ثم؛ فإن صيغة الشبكة تظل صحيحة لأن المنطقة الإضافية (+1) تلغي الخط الإضافي (−1). وفي حالة إضافة خطوط أخرى بهذه الطريقة، فإن صيغة الشبكة ستظل صحيحة لأن كل خط جديد سيؤدي إلى تشكيل منطقة جديدة.

ولنتناول ثانيا استخدام الخط لتوصيل النقطة الأصلية بنقطة جديدة، مثلما يظهر في الشكل

3-4 (ج). ومرة أخرى، تظل صيغة الشبكة صحيحة؛ لأن النقطة الإضافية (+1) تلغي الخط الإضافي (−1). وفي حالة إضافة خطوط أخرى بهذه الطريقة، ستظل صيغة الشبكة صحيحة؛ لأن كل خط جديد سيشكل نقطة جديدة.

وهذا هو كل ما كان أويلر يحتاج إليه من أجل برهانه. وقد حاجج بأن صيغة الشبكة تنطبق على أبسط الشبكات على الإطلاق. وحاجج أيضا بأن جميع الشبكات الأخرى مهما زاد تعقيدها، يمكن أن تشكل من الشبكة الأبسط من خلال إضافة خطوط جديدة، واحدا تلو الآخر. وفي كل مرة يضاف فيها خط جديد، ستظل صيغة الشبكة صحيحة؛ لأن ذلك سيؤدي إما إلى تشكيل نقطة جديدة أو منطقة جديدة؛ مما سيكون له تأثير تعويضي. صمم أويلر استراتيجية بسيطة وفعالة في الوقت نفسه. وأثبت أن الصيغة تنطبق على أبسط شبكة على الإطلاق، وهي النقطة واحدة، ثم أثبت أن أي عملية تعقد الشبكة، لن تخل بصلاحية الصيغة. ومن ثم؛ فإن الصيغة تنطبق على ذلك العدد اللانهائي من أشكال الشبكات الممكنة.

شكل 3-4: أثبت أويلر صيغة الشبكة التي توصل إليها من خلال إثبات صحتها في حالة الشبكة الأبسط على الإطلاق، ثم إثبات أنها ستظل صحيحة أيضا بصرف النظر عن عدد الامتدادات المضافة إلى النقطة الواحدة.

لا بد أن أويلر قد تمنى حين صادف مبرهنة فيرما الأخيرة للمرة الأولى، أن يتمكن من حلها باستخدام استراتيجية مماثلة. إن المبرهنة الأخيرة وصيغة الشبكة، تنتميان إلى مجالين مختلفين للغاية من مجالات الرياضيات، لكن ثمة شيئا مشتركا بينهما، وهو أن كلتيهما تزعمان شيئا عن مجموعة لا نهائية من الأشياء. فتزعم صيغة الشبكة أنه في العدد اللانهائي من الشبكات، سنجد أن عدد النقاط مع عدد المناطق مطروحا منه عدد الخطوط يساوي 1 على الدوام. أما مبرهنة فيرما الأخيرة، فهي تزعم عدم وجود حل بأعداد صحيحة لعدد لا نهائي من المعادلات. ونستذكر هنا أن مبرهنة فيرما الأخيرة قد زعمت أنه لا توجد حلول بأعداد صحيحة للمعادلة التالية: ، حيث

n

أي عدد أكبر من 2.

Неизвестная страница