إذا كان المثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

وبعبارة أخرى، (أو برموز أخرى على نحو أدق):

ومن الجلي أن ذلك ينطبق على المثلث الموضح في الشكل

1-2 ، لكن اللافت للنظر أن مبرهنة فيثاغورس تنطبق على جميع المثلثات القائمة الزاوية التي يمكن تخيلها. إنها من القوانين الكونية للرياضيات، ويمكن الاعتماد على صحتها في حالة أي مثلث قائم الزاوية. وعلى العكس من ذلك، إذا كان المثلث يتبع مبرهنة فيثاغوس، فإنه قائم الزاوية دون أدنى شك.

والآن تجدر الإشارة إلى أنه بالرغم من أن هذه المبرهنة ستظل مرتبطة باسم فيثاغوس إلى الأبد، كان الصينيون والبابليون قد استخدموها بالفعل قبل ذلك بألف عام. غير أن هاتين الحضارتين لم تدركا أن تلك المبرهنة تنطبق على أي مثلث قائم الزاوية. لقد كانت تنطبق على جميع المثلثات التي اختبروها بالتأكيد، لكنهم لم يتمكنوا من إثبات أنها تنطبق على جميع المثلثات القائمة الزاوية التي لم يختبروها. والسبب في نسبة المبرهنة إلى فيثاغورس هو أنه كان أول من أثبت صحتها في جميع الأحوال.

فكيف عرف فيثاغورس أن مبرهنته تنطبق على جميع المثلثات القائمة الزاوية؟ لم يكن ليأمل أن يختبر ذلك التنوع اللانهائي من المثلثات القائمة الزاوية، غير أنه كان متيقنا تماما من صحة المبرهنة على نحو مطلق. ويكمن سبب ثقته في مفهوم البرهان الرياضي؛ فالبحث عن البرهان الرياضي هو بحث عن معرفة أكثر يقينية من أي معرفة يتوصل إليها أي فرع آخر من فروع العلوم. وهذه الرغبة في التوصل إلى حقيقة مطلقة من خلال البرهان هي ما كان يدفع علماء الرياضيات على مدى آخر ألفين وخمسمائة عام. (1-3) البرهان المطلق

تتمحور قصة مبرهنة فيرما الأخيرة حول البحث عن البرهان المفقود. فالبرهان الرياضي أكثر عظمة ودقة بدرجة كبيرة من مفهوم البرهان الذي نستخدمه عادة في لغة حياتنا اليومية، أو حتى مفهوم البرهان مثلما يفهمه الفيزيائيون والكيميائيون. والفرق بين البرهان العلمي والبرهان الرياضي دقيق وعميق في الآن نفسه، وهو أساسي لفهم جميع أعمال علماء الرياضيات منذ فيثاغورس.

إن مفهوم البرهان الرياضي الكلاسيكي هو البدء بمجموعة من المسلمات، وهي عبارات يمكن افتراض صحتها أو عبارات بديهية. وبعد ذلك، فمن خلال الجدال المنطقي خطوة بخطوة، يمكن التوصل إلى استنتاج. وإذا كانت المسلمات صحيحة والمنطق سليما خاليا من العيوب، فإن هذا الاستنتاج يكون مؤكدا لا مراء فيه. وهذا الاستنتاج هو المبرهنة.

تستند المبرهنات الرياضية إلى هذه العملية المنطقية، وهي تظل صحيحة إلى الأبد فور إثباتها. فالبراهين الرياضية مطلقة، ومن أجل إدراك قيمتها، ينبغي مقارنتها مع أقاربها الضعيفة، وهي البراهين العلمية. في العلوم، تطرح الفرضية من أجل تفسير ظاهرة فيزيائية، وإذا كانت الملاحظات المستمدة من الظاهرة تتوافق مع الفرضية على نحو جيد، فإنها تصبح من الأدلة التي تؤيد الفرضية. علاوة على ذلك، ينبغي ألا تصف الفرضية ظاهرة معروفة فحسب، بل يجب أن تتوقع نتائج ظواهر أخرى. ويمكن إجراء التجارب لاختبار القوة التنبؤية للفرضية، وإذا ظلت ناجحة، فإن ذلك يعد دليلا إضافيا يدعم الفرضية. وفي نهاية المطاف، قد تصبح الأدلة دامغة وتقبل الفرضية بصفتها نظرية علمية.

بالرغم من ذلك، لا يمكن إثبات صحة النظرية العلمية بالقدر نفسه من اليقين الذي يمكن أن تصل إليه المبرهنات الرياضية، بل تعد مرجحة للغاية فحسب بناء على الأدلة المتوفرة. إن ما يدعى باسم البرهان العلمي يستند إلى الملاحظة والإدراك الحسي، وكلاهما عرضة للخطأ ولا يقدم إلا نسخا تقريبية للحقيقة. ومثلما أشار برتراند راسل: «بالرغم من أن هذا قد يبدو من المفارقات ، فجميع العلوم الدقيقة تغلب عليها فكرة التقريب.» حتى «البراهين» العلمية التي تحظى بالقبول على نطاق كبير للغاية، دائما ما تنطوي على عنصر صغير من الشك فيها. يتضاءل هذا الشك في بعض الأحيان، لكنه لا يختفي تماما أبدا، بينما يتضح في النهاية في أحيان أخرى أن ذلك البرهان خاطئ. وهذا الضعف الذي يتسم به البرهان العلمي، يؤدي إلى الثورات العلمية التي تستبدل فيها بإحدى النظريات التي كان يعتقد في صحتها من قبل نظرية أخرى. وقد تكون هذه النظرية الأخرى محض تعديل على النظرية الأصلية، أو قد تكون تناقضا تاما لها.

Неизвестная страница