كان فيرما يتأمل في شكل مختلف من معادلة فيثاغورس:

مثلما ذكرنا في الفصل السابق، لم يفعل فيرما سوى أن غير العدد 2 إلى 3، أي التربيع إلى تكعيب، غير أنه قد بدا أن معادلته الجديدة لا يمكن حلها بأعداد صحيحة على الإطلاق. فسرعان ما توضح المحاولة والخطأ صعوبة وجود عددين مكعبين يكون حاصل جمعهما مساويا لعدد مكعب آخر. أيمكن حقا أن يحول هذا التغيير الطفيف معادلة فيثاغورس التي يوجد لها عدد لا نهائي من الحلول، إلى معادلة لا حلول لها على الإطلاق؟

أجرى فيرما المزيد من التعديلات في المعادلة بتغيير الأس إلى أعداد أكبر من 3، واكتشف أن إيجاد حل لكل من هذه المعادلات لا يقل صعوبة. ووفقا لفيرما، بدا الأمر أنه لا يوجد ثلاثة أعداد يمكن أن تتلاءم تماما مع المعادلة: ، حيث

n

تمثل 3، 4، 5، ...

وفي هامش نسخته من كتاب «أريثميتيكا»، وبجوار المسألة 8، كتب فيرما هذه الملاحظة:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.

من المستحيل أن يكون حاصل جمع عددين مكعبين عددا مكعبا، أو أن يكون حاصل جمع عددين مرفوعين لأس أربعة، عددا مرفوعا لأس أربعة، أو يمكننا القول بصفة عامة: إنه من المستحيل أن يكون حاصل جمع أي عددين مرفوعين لغير الأس اثنين، عددا مرفوعا لذلك الأس نفسه.

من بين جميع الأعداد الممكنة، لم يبد أنه ثمة سبب لعدم إمكانية وجود مجموعة حل واحدة على الأقل، لكن فيرما قد صرح بأنه لا توجد أي «ثلاثية فيرماوية» في ذلك الكون اللانهائي من الأعداد. لقد كان ذلك ادعاء استثنائيا، لكن فيرما كان يرى أنه يستطيع إثباته. بعد الملاحظة الهامشية الأولى التي كانت تضع إطارا للنظرية، كتب العبقري المشاكس تعليقا آخر ظل يؤرق أجيالا من علماء الرياضيات:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.

ناپیژندل شوی مخ