8128 = 2

6 × (2

7 − 1).

إن أجهزة الكمبيوتر في العصر الحالي قد واصلت البحث عن الأعداد المثالية وتوصلت إلى أمثلة في غاية الضخامة عليها؛ مثل 2

216,090 × (2

216,091 − 1)، وهو عدد يضم أكثر من 130000 رقم، ويتبع قاعدة إقليدس.

لقد كان فيثاغورس مفتونا بما تتسم به الأعداد المثالية من أنماط ثرية وخصائص، واحترم غموضها ومكرها. إن مفهوم المثالية يبدو للوهلة الأولى من المفاهيم التي يسهل استيعابها إلى حد ما، غير أن اليونانيين القدماء لم يتمكنوا من إدراك بعض النقاط الجوهرية في الموضوع. فعلى سبيل المثال، يوجد الكثير من الأعداد التي يكون مجموع قواسمها أقل من العدد نفسه بمقدار واحد فقط، أي إنها ناقصة بدرجة طفيفة، غير أنه لا يبدو أنه توجد أعداد زائدة بدرجة طفيفة. لم يتمكن اليونانيون من العثور على أي أعداد يكون مجموع قواسمها أكبر من العدد نفسه بمقدار واحد فقط، وهم لم يتمكنوا من تفسير ذلك. وعلى نحو مثير للإحباط، بالرغم من أنهم لم يتمكنوا من اكتشاف أعداد زائدة بدرجة طفيفة ، لم يتمكنوا أيضا من البرهنة على عدم وجود مثل هذه الأعداد. إن فهم السبب في الغياب الواضح للأعداد الزائدة بدرجة طفيفة لم يكن بذي قيمة عملية على الإطلاق، وإنما هي مسألة يمكن أن توضح بعض خصائص الأعداد؛ ومن ثم فقد كانت جديرة بالدراسة. وقد أثارت مثل هذه الألغاز اهتمام الأخوية الفيثاغورسية، وحتى بعد ألفين وخمسمائة عام لم يتمكن علماء الرياضيات من البرهنة على عدم وجود الأعداد الزائدة بدرجة طفيفة. (1-2) كل شيء عدد

إضافة إلى دراسة العلاقات بين الأعداد، كان فيثاغورس مهتما أيضا بالعلاقة بين الأعداد والطبيعة. لقد أدرك أن الظواهر الطبيعية تخضع لقوانين، وأنه يمكن وصف هذه القوانين بالمعادلات الرياضية. ومن أوائل الروابط التي اكتشفها، العلاقة الجوهرية بين تناغم الموسيقى وتناغم الأعداد.

كانت الآلة الأهم في الموسيقى الهلينية هي القيثارة رباعية الأوتار. وقبل فيثاغورس، أدرك الموسيقيون أن بعض النغمات الموسيقية المحددة حين تصدر معا، تولد تأثيرا جميلا، وكانوا يضبطون أوتارهم بحيث يؤدي النقر على وترين إلى توليد مثل ذلك التناغم. غير أن الموسيقيين الأوائل لم يتمكنوا من فهم السبب في تناغم بعض النغمات المحددة دون غيرها، ولم يتوصلوا إلى نظام موضوعي لضبط آلالاتهم، بل كانوا يضبطونها سماعيا فقط إلى أن يصلوا إلى الحالة التي يتحقق فيها التناغم؛ وهي العملية التي كان يسميها أفلاطون تعذيب مسامير الضبط.

يصف العالم يامبليخوس الذي عاش في القرن الرابع، والذي كتب تسعة كتب عن الجماعة الفيثاغورسية، الكيفية التي توصل بها فيثاغورس إلى اكتشاف المبادئ الأساسية للتناغم الموسيقي:

ناپیژندل شوی مخ